الإجابة الصحيحة (خطأ)

نستخدم خاصية المحددات التي تنص على أنه إذا كانتأمصفوفة مربعة من الرتبةنومعدد ثابت، فإن:

|م أ| = makePower{م}{ن} |أ|

في هذه المسألة:

• الثابتم = 3.
• رتبة المصفوفةن = 3(لأنها من الرتبة الثالثة).
• قيمة المحدد|أ| = makePower{ك}{2}.

بالتعويض في القاعدة:

|3أ| = makePower{3}{3} |أ| = 27 |أ|

وبما أن|أ| = makePower{ك}{2}، فإن:

|3أ| = 27 makePower{ك}{2}

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو8makePower{ك}{2}، وهذا غير صحيح.

(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 34)

الإجابة الصحيحة (الوحدة)

دعنا نحلل تعريف المصفوفة المعطى:

• الشرط الأول:أ(ر، د) = 1عندمار = د. هذا يعني أن جميع عناصر القطر الرئيسي (حيث رقم الصف يساوي رقم العمود) تساوي 1.
• الشرط الثاني:أ(ر، د) = 0عندمار ≠ د. هذا يعني أن جميع العناصر التي تقع خارج القطر الرئيسي تساوي صفراً.

هذان الشرطان معاً يصفان **مصفوفة الوحدة (Identity Matrix)**، والتي يرمز لها بالرمزI. على سبيل المثال، مصفوفة الوحدة من الرتبة الثالثة تكون:

makeMatrix{1 ، 0 ، 0 ؛ 0 ، 1 ، 0 ؛ 0 ، 0 ، 1}

لماذا الخيارات الأخرى غير صحيحة؟

• المصفوفة القطرية:هي مصفوفة تكون فيها جميع العناصر خارج القطر الرئيسي أصفاراً، ولكن عناصر القطر الرئيسي يمكن أن تكون أي أرقام (وليست بالضرورة كلها 1). كل مصفوفة وحدة هي حالة خاصة من المصفوفة القطرية، لكن التعريف المعطى هو تعريف مصفوفة الوحدة تحديداً.
• المصفوفة المتماثلة:هي مصفوفة تساوي محورتها.
• المصفوفة المثلثية العلوية:هي مصفوفة تكون فيها جميع العناصر تحت القطر الرئيسي أصفاراً.

(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 8-1: العمليات على المصفوفات، صفحة 21)

الإجابة الصحيحة (makeFraction{1}{هـ})

نقوم أولاً بحساب قيمة المحدد من الرتبة الثانية:

makeDeterminant{لو س ، −1 ؛ 1 ، 1} = (لو س)(1) − (−1)(1) = لو س + 1

الآن نساوي هذه القيمة بالصفر كما هو معطى في السؤال:

لو س + 1 = 0

لو س = −1

لحل هذه المعادلة اللوغاريتمية، نتذكر أن "لو" هو اللوغاريتم الطبيعي ذو الأساسهـ. لتحويلها إلى الصورة الأسية:

س = makePower{هـ}{−1} = makeFraction{1}{هـ}

(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 1-1: المحددات، صفحة 9)

الإجابة الصحيحة (-1)

المصفوفة ملتوية التماثل (Skew-Symmetric Matrix) لها خاصيتان أساسيتان:

1. جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي صفراً.
2. كل عنصرأ(ر، د)يساوي سالب العنصر المناظر له−أ(د، ر).

بتطبيق هذه الخصائص على المصفوفة المعطاة:

• عناصر القطر الرئيسي:ل = 0،ف = 0،س = 0.
• العلاقات بين العناصر الأخرى:
  • م = −ك
  • ن = −و
  • هـ = −ع

الآن نعوض بهذه القيم في المقدار المطلوب:

makeFraction{ل + م + ن + هـ}{ك + و + ع + س} = makeFraction{0 + (−ك) + (−و) + (−ع)}{ك + و + ع + 0}

= makeFraction{−(ك + و + ع)}{ك + و + ع} = −1

(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 14-1: المصفوفة ملتوية التماثل، صفحة 31)