1- makeIntegral{3 جتا (2س + 1)}{س} = makeFraction{2}{3} جا (2س + 1) + ث شرح السؤال عند تكامل دالة جيب التمامجتا(أس + ب)، ما هي القاعدة التي يجب اتباعها؟ تذكر أنك تقسم على معامل 'س' وليس العكس. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)القاعدة الصحيحة لتكامل دالة جيب التمام هي:makeIntegral{جتا (أس + ب)}{س} = makeFraction{1}{أ} جا (أس + ب) + ثبتطبيق هذه القاعدة على السؤال:التكامل الصحيح:makeIntegral{3 جتا (2س + 1)}{س} = 3 makeParentheses{makeFraction{1}{2} جا (2س + 1)} + ثالناتج النهائي:= makeFraction{3}{2} جا (2س + 1) + ثالعبارة في السؤال تدعي أن الناتج هوmakeFraction{2}{3} جا (2س + 1) + ث، وهو غير صحيح. المعامل الصحيح هوmakeFraction{3}{2}.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا (أس+ب)، جتا (أس+ب)، قا²(أس+ب)، صفحة 149)
2- makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{0}{(س − جا س)}{س} = makeFraction{makePower{π}{2}}{8} − 1 شرح السؤال قم بتوزيع التكامل على حدي المقدار، ثم أجرِ عملية التكامل لكل حد على حدة. بعد ذلك، عوض بالحدود العلوية والسفلية. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)توزيع التكامل:makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{0}{س}{س} − makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{0}{جا س}{س}إيجاد التكامل غير المحدود:makeFraction{makePower{س}{2}}{2} − (−جتا س) = makeFraction{makePower{س}{2}}{2} + جتا سالتعويض بالحدود (نظرية التكامل الأساسية):= makeParentheses{makeFraction{makePower{س}{2}}{2} + جتا س}_{0}^{makeSmallFraction{π}{2}}= makeParentheses{makeFraction{makePower{(makeSmallFraction{π}{2})}{2}}{2} + جتا(makeSmallFraction{π}{2})} − makeParentheses{makeFraction{0}{2} + جتا(0)}= makeParentheses{makeFraction{makePower{π}{2}}{8} + 0} − (0 + 1)= makeFraction{makePower{π}{2}}{8} − 1النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)
3- عندما تدور المنطقة المظللة في الشكل التالي حول محور الصادات دورة كاملة فإن حجم الجسم الدوراني المتولد هوح = π makeDefIntegral{ب}{أ}{makePower{ص}{2}}{س}. شرح السؤال ما هي الصيغة الصحيحة لحساب الحجم الدوراني عند الدوران حول محور الصادات؟ هل هي بدلالة س² أم ص²؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ) الصيغة المذكورة في السؤالح = π makeDefIntegral{ب}{أ}{makePower{ص}{2}}{س}هي صيغة حساب الحجم الدوراني عند الدوران حول محورالسينات. الصيغة الصحيحة لحساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محورالصاداتهي: ح = π makeDefIntegral{د}{ج}{makePower{س}{2}}{ص} حيث تكون حدود التكامل (ج، د) على محور الصادات، ويجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير ص. (الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
4- يتحرك جسم في خط مستقيم بسرعةع = 9 − makeFraction{1}{4} makePower{ن}{2}م/ث فإن المسافة المقطوعة في الثانية الثالثة =makeFraction{89}{12}م شرح السؤال "الثانية الثالثة" تعني الفترة الزمنية بين ن=2 و ن=3. للحصول على المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة، عليك إجراء تكامل محدد للسرعة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)فحص تغير الاتجاه:نرى متى تكون السرعة صفراً:9 − makeFraction{1}{4}makePower{ن}{2} = 0يؤدي إلىmakePower{ن}{2} = 36، أين = 6. بما أنن = 6خارج الفترة [2، 3]، فإن الجسم لا يغير اتجاهه، وبالتالي المسافة تساوي الإزاحة.إعداد التكامل:المسافة (ف) هي تكامل السرعة (ع).ف = makeDefIntegral{3}{2}{makeParentheses{9 − makeFraction{1}{4} makePower{ن}{2}}}{ن}حساب التكامل:ف = makeParentheses{9ن − makeFraction{makePower{ن}{3}}{12}}_{2}^{3}= makeParentheses{9(3) − makeFraction{27}{12}} − makeParentheses{9(2) − makeFraction{8}{12}}= makeParentheses{27 − makeFraction{9}{4}} − makeParentheses{18 − makeFraction{2}{3}}= makeParentheses{makeFraction{108 - 9}{4}} − makeParentheses{makeFraction{54 - 2}{3}} = makeFraction{99}{4} - makeFraction{52}{3}= makeFraction{297 - 208}{12} = makeFraction{89}{12}الناتج المحسوب يطابق القيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)
