1- makeIntegral{makeFraction{1}{3} جا (6 س + 1)}{س} = 2 جتا (6 س + 1) + ث شرح السؤال تذكر القاعدة الأساسية لتكامل دالة الجيب (جا). عند تكاملجا (أس + ب)، ما هو المعامل الذي يظهر أمام دالة جيب التمام (جتا) بعد إجراء التكامل؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد تكامل الدالة، نستخدم القاعدة الأساسية لتكامل الدوال المثلثية. القاعدة تقول إن تكاملجا (أس + ب)هو−makeFraction{1}{أ} جتا(أس+ب).نخرج الثابتmakeFraction{1}{3}خارج التكامل:makeFraction{1}{3} makeIntegral{جا (6 س + 1)}{س}.نكاملجا (6 س + 1). هناأ = 6، فيكون ناتج التكامل−makeFraction{1}{6} جتا (6 س + 1).نضرب الناتج في الثابت الذي أخرجناه:makeFraction{1}{3} × (−makeFraction{1}{6} جتا (6 س + 1)) + ث = −makeFraction{1}{18} جتا (6 س + 1) + ث.النتيجة الصحيحة (−makeFraction{1}{18}) تختلف عن المعامل (2) المذكور في السؤال، لذا العبارة خاطئة.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا(أس+ب)...، صفحة 149)
2- makeLimit{ن → ∞}{makePower{(1 + makeFraction{1}{ن})}{ن}} = هـ شرح السؤال هذه إحدى النهايات الأساسية والمشهورة جداً. هل يمكنك تذكر علاقتها بالعدد النيبيري (هـ)؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه الصيغة هي التعريف الأساسي للعدد النيبيري (أو الثابت الطبيعي)هـ. وهي من النتائج القياسية التي يتم حفظها واستخدامها مباشرة في حساب النهايات.هذا الثابت أساسي في الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم، ويُعرف بأنه أساس اللوغاريتم الطبيعي، وقيمته التقريبية هي2.718. من المهم جداً حفظ هذه النهاية الأساسية والنهايات المشابهة لها.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 1-7: مفاهيم أساسية للثابت الأسي، صفحة 161)
3- د(س) = makeFraction{makePower{س}{2} − 1}{makePower{س}{2}}دالة أحادية. شرح السؤال لاختبار ما إذا كانت الدالة أحادية، حاول التعويض بقيمتين مختلفتين للمتغيرس(إحداهما موجبة والأخرى سالبة، مثل 1 و -1). إذا حصلت على نفس الناتج، فماذا يعني ذلك؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)الدالة الأحادية (One-to-one) هي التي يكون فيها كل عنصر في المدى صورة لعنصر واحد فقط في المجال. أي أنه إذا كاند(س₁) = د(س₂)، يجب أن يكونس₁ = س₂.لنختبر الدالة المعطاة:عندماس = 1فإند(1) = makeFraction{1 − 1}{1} = 0عندماس = −1فإند(−1) = makeFraction{1 − 1}{1} = 0بما أند(1) = د(−1)ولكن1 ≠ −1، فإن الدالة ليست أحادية. هذا النوع من الدوال التي تحققد(س) = د(−س)يُعرف بـ "الدالة الزوجية"، والدوال الزوجية (باستثناء الحالة الثابتة عند س=0) ليست أحادية.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، كمفهوم عام لخصائص الدوال، صفحة 82)
4- makeDefIntegral{1}{0}{makePower{هـ}{(2 س − 1)}}{س} = makeFraction{1}{2} (هـ − makeFraction{1}{هـ}) شرح السؤال أولاً، أوجد التكامل غير المحدود للدالة الأسيةmakePower{هـ}{أس+ب}. ثم قم بالتعويض بحدود التكامل (العلوي ثم السفلي) وطرح الناتجين. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحل هذا التكامل المحدود، نتبع الخطوات التالية:إيجاد التكامل غير المحدود:القاعدة هيmakeIntegral{makePower{هـ}{(أ س + ب)}}{س} = makeFraction{1}{أ} makePower{هـ}{(أ س + ب)} + ث.بتطبيقها هنا، نجد أن:makeIntegral{makePower{هـ}{(2 س − 1)}}{س} = makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(2 س − 1)}.حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):makeParentheses{makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(2 س − 1)}}_{0}^{1}=makeParentheses{makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(2 × 1 − 1)}} − makeParentheses{makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(2 × 0 − 1)}}=makeFraction{1}{2} ه¹ − makeFraction{1}{2} ه⁻¹=makeFraction{1}{2} (هـ − makeFraction{1}{هـ})النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية هـ^س، صفحة 169)
