1- المساحة المحصورة بين المنحنيينص = جا س،ص = جتا ستساوي(makeSqrt{2} − 1)وحدة مربعة في الفترة0 ≤ س ≤ makeSmallFraction{π}{2}. شرح السؤال لإيجاد المساحة بين منحنيين، ما هي أول خطوة يجب القيام بها؟ وهل يتقاطع المنحنيان داخل فترة التكامل المعطاة؟ إذا كان الأمر كذلك، كيف يؤثر ذلك على طريقة حساب المساحة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:إيجاد نقاط التقاطع:نساوي المعادلتينجا س = جتا س. بالقسمة علىجتا س، نحصل علىظا س = 1. في الفترة المعطاة، هذا يحدث عندس = makeSmallFraction{π}{4}.تقسيم التكامل:بما أن نقطة التقاطع تقع داخل فترة التكامل، يجب تقسيم المساحة إلى جزأين:من0إلىmakeSmallFraction{π}{4}، يكون منحنىجتا سهو العلوي.منmakeSmallFraction{π}{4}إلىmakeSmallFraction{π}{2}، يكون منحنىجا سهو العلوي.حساب المساحة:المساحة =makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{4}}{0}{(جتا س − جا س)}{س} + makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{makeSmallFraction{π}{4}}{(جا س − جتا س)}{س}=makeParentheses{جا س + جتا س}_{0}^{makeSmallFraction{π}{4}} + makeParentheses{−جتا س − جا س}_{makeSmallFraction{π}{4}}^{makeSmallFraction{π}{2}}=makeParentheses{makeParentheses{makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}} + makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}}} − (0 + 1)} + makeParentheses{(0 − 1) − makeParentheses{−makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}} − makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}}}}=(makeSqrt{2} − 1) + (−1 + makeSqrt{2}) = 2 makeSqrt{2} − 2.الناتج هو2 makeSqrt{2} − 2، وهو لا يساوي القيمة المذكورة في السؤال(makeSqrt{2} − 1).(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 116)
2- إذا كانأتكملبفإنmakePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} ب = −1. شرح السؤال ماذا يعني أن الزاويتين متكاملتان؟ ما العلاقة بينأوب؟ وكيف يؤثر ذلك على العلاقة بينجتا بوجتا أ؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ) الزاويتان المتكاملتان هما زاويتان مجموعهما180°. إذنأ + ب = 180°، ومنهاب = 180° − أ. من قواعد الزوايا المنتسبة، نعلم أنجتا (180° − أ) = −جتا أ.إذن،جتا ب = −جتا أ. بتربيع الطرفين، نحصل علىmakePower{جتا}{2} ب = (−جتا أ)² = makePower{جتا}{2} أ. الآن نعوض في المقدار المطلوب: makePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} ب = makePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} أ حسب متطابقة فيثاغورس الأساسية، فإنmakePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} أ = 1. النتيجة هي1وليست−1، لذا فالعبارة خاطئة. (الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2: تعريف الزوايا المركبة، صفحة 37)
3- إذا كانتmakePower{ص}{2} + 3 س ص = 10فإنmakeFraction{دص}{دس} = makeSmallFraction{−7}{6}عند النقطة(1 ، 2). شرح السؤال هذه دالة ضمنية. تذكر عند اشتقاقها أنصهي دالة فيس. لا تنسَ استخدام قاعدة تفاضل حاصل الضرب للحد3 س ص. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد المشتقة، نستخدم التفاضل الضمني للمعادلة بالنسبة إلىس:makeFraction{د}{دس}(makePower{ص}{2}) + makeFraction{د}{دس}(3 س ص) = makeFraction{د}{دس}(10)اشتقاقmakePower{ص}{2}يعطي2ص makeFraction{دص}{دس}.اشتقاق3 س ص(باستخدام قاعدة الضرب) يعطي:3((1)(ص) + (س)(makeFraction{دص}{دس})) = 3ص + 3س makeFraction{دص}{دس}.اشتقاق10يعطي0.تصبح المعادلة:2ص makeFraction{دص}{دس} + 3ص + 3س makeFraction{دص}{دس} = 0.نعزل الحدود التي تحتوي علىmakeFraction{دص}{دس}:makeFraction{دص}{دس} (2ص + 3س) = −3صmakeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−3ص}{2ص + 3س}الآن نعوض بقيم النقطة(1 ، 2)أيس = 1وص = 2:makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−3(2)}{2(2) + 3(1)} = makeFraction{−6}{4 + 3} = makeFraction{−6}{7}.الناتجmakeSmallFraction{−6}{7}لا يساويmakeSmallFraction{−7}{6}، لذا العبارة خاطئة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
4- إذا كانظا θ = ظتا θحيثθزاوية منفرجة فإنθ = 225°. شرح السؤال ما هي الزاوية المنفرجة؟ في أي ربع تقع؟ وكيف يؤثر ذلك على حل المعادلة؟ وماذا عن الزاوية225°، هل تحقق الشرط؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)تحليل المعادلة:ظا θ = ظتا θيمكن كتابتها كـظا θ = makeFraction{1}{ظا θ}، مما يؤدي إلىmakePower{ظا}{2} θ = 1. وهذا يعني أنظا θ = ±1.تحليل الشرط:"θ زاوية منفرجة" يعني أنθتقع في الربع الثاني (90° < θ < 180°).تحديد الحل الصحيح:في الربع الثاني، تكون قيمة دالة الظل (ظا) سالبة. إذن، الحل المطلوب يجب أن يحققظا θ = −1. الزاوية التي تحقق ذلك في الربع الثاني هيθ = 135°.التحقق من القيمة المقترحة:الزاوية225°تقع في الربع الثالث. بالرغم من أنها تحقق المعادلة (لأنظا 225° = 1وظتا 225° = 1)، إلا أنها **لا تحقق شرط** كونها زاوية منفرجة.بما أن الزاوية225°ليست منفرجة، فالعبارة خاطئة.(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 4-2: حل المعادلة المثلثية، صفحة 46)
