1- إذا كان $A$ حدث من فراغ العينة $S$ فإن $S \cup A = A$ شرح السؤال تذكر علاقات المجموعات الأساسية. ماذا يمثل الرمز $S$ في نظرية الاحتمالات؟ وماذا ينتج عن عملية الاتحاد بين أي مجموعة جزئية والمجموعة الشاملة التي تنتمي إليها؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).فراغ العينة $S$ يمثل المجموعة الشاملة التي تحتوي على كل النتائج الممكنة للتجربة العشوائية. وأي حدث $A$ هو مجموعة جزئية من $S$.وفقاً لقواعد نظرية المجموعات، فإن اتحاد أي مجموعة جزئية ($A$) مع المجموعة الشاملة ($S$) ينتج عنه دائماً المجموعة الشاملة نفسها.الصيغة الصحيحة:$S \cup A = S$متى تكون $S \cup A = A$؟هذا لا يحدث إلا في حالة خاصة جداً وهي عندما يكون الحدث $A$ هو نفسه فراغ العينة $S$ (أي أن $A$ حدث مؤكد). ولكن القاعدة العامة هي أن الاتحاد مع المجموعة الشاملة يعطي المجموعة الشاملة.للتفكير:ماذا عن تقاطع الحدث $A$ مع فراغ العينة $S$؟ ما هي نتيجة العملية $S \cap A$؟ فكر في هذه العلاقة وكيف تختلف عن الاتحاد.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، 1-2: فراغ العينة، صفحة 6)
2- إذا كان $P(B) = 0.75$ و $P(A \cap B) = 0.3$ فإن $P(A/B) = 0.4$ شرح السؤال هذا السؤال يتعلق بالاحتمال الشرطي. هل تتذكر الصيغة الرياضية لحساب احتمال وقوع الحدث $A$ بشرط وقوع الحدث $B$؟ قم بكتابة القانون وعوّض بالقيم المعطاة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).يُعرّف الاحتمال الشرطي لوقوع الحدث $A$ بمعرفة أن الحدث $B$ قد وقع بالفعل بالصيغة التالية: $$ P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ حيث:$P(A \cap B)$ هو احتمال وقوع الحدثين $A$ و $B$ معاً.$P(B)$ هو احتمال وقوع الحدث $B$.بالتعويض بالقيم المعطاة في السؤال: $$ P(A/B) = \frac{0.3}{0.75} = 0.4 $$ النتيجة المحسوبة ($0.4$) تتطابق مع القيمة المذكورة في السؤال، لذا فإن العبارة صحيحة.للمقارنة:كيف يختلف حساب $P(A/B)$ عن حساب $P(B/A)$؟ وماذا لو كان الحدثان $A$ و $B$ مستقلين، كيف سيؤثر ذلك على قيمة $P(A/B)$؟(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، 1-9: الاحتمال الشرطي، صفحة 39)
3- عندما لا توجد أي نتيجة من نتائج فراغ العينة تحقق حدثاً ما فإن هذا الحدث يسمى حدث مستحيلاً. شرح السؤال فكر في أنواع الأحداث المختلفة التي درستها في نظرية الاحتمالات. ماذا نسمي الحدث الذي من المؤكد وقوعه؟ وماذا نسمي الحدث الذي لا يمكن أن يقع أبداً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذا هو التعريف الدقيق للحدث المستحيل. في نظرية الاحتمالات، نصنف الأحداث إلى عدة أنواع:الحدث البسيط:يحتوي على نتيجة واحدة فقط من فراغ العينة.الحدث المركب:يحتوي على أكثر من نتيجة.الحدث المؤكد:يحتوي على جميع نتائج فراغ العينة (يساوي $S$)، واحتمال وقوعه هو $1$.الحدث المستحيل:هو مجموعة خالية ($\phi$) لا تحتوي على أي نتيجة من نتائج فراغ العينة، واحتمال وقوعه هو $0$.مثال: عند إلقاء مكعب نرد مرة واحدة، حدث "الحصول على الرقم $7$" هو حدث مستحيل لأن الرقم $7$ ليس من ضمن نتائج فراغ العينة $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.سؤال:هل يمكن لحدث أن يكون بسيطاً ومستحيلاً في نفس الوقت؟ ولماذا؟(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، 1-4: أنواع الحدث، 4- الحدث المستحيل، صفحة 12)
4- تباين توزيع $t$ أصغر من الواحد. شرح السؤال توزيع $t$ هو أحد التوزيعات الاحتمالية الهامة. هل تتذكر خصائصه؟ ابحث في الكتاب عن صيغة حساب تباين توزيع $t$ وانظر إلى علاقته بدرجات الحرية ($v$). هل يمكن أن تكون قيمته أصغر من $1$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).تباين توزيع $t$ يُعطى بالصيغة: $$ \sigma^2 = \frac{v}{v-2} $$ وذلك بشرط أن تكون درجات الحرية $v > 2$.لتحليل هذه الصيغة:البسط ($v$) هو دائماً أكبر من المقام ($v-2$).عندما يكون البسط أكبر من المقام، فإن ناتج القسمة يكون دائماً أكبر من الواحد الصحيح.على سبيل المثال، إذا كانت $v=3$، فإن التباين $= \frac{3}{3-2} = 3$. وإذا كانت $v=10$، فإن التباين $= \frac{10}{10-2} = 1.25$. لذلك، تباين توزيع $t$ يكون دائماًأكبر من الواحد(عندما يكون معرفاً، أي $v > 2$).للمقارنة:ماذا عن تباين التوزيع الطبيعي المعياري ($Z$)؟ قارن بين تباين كل من توزيع $t$ وتوزيع $Z$. كيف يتغير شكل توزيع $t$ كلما زادت درجات الحرية ($v$)؟ وإلى أي توزيع يقترب؟(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 3-2: توزيعات احتمالية متصلة هامة، 2-2-3 توزيع t، صفحة 109)
