الإجابة الصحيحة (خطأ)

القاعدة الصحيحة لتكامل دالة جيب التمام هي:

makeIntegral{جتا (أس + ب)}{س} = makeFraction{1}{أ} جا (أس + ب) + ث

بتطبيق هذه القاعدة على السؤال:

1. التكامل الصحيح:
   makeIntegral{3 جتا (2س + 1)}{س} = 3 makeParentheses{makeFraction{1}{2} جا (2س + 1)} + ث
2. الناتج النهائي:
   = makeFraction{3}{2} جا (2س + 1) + ث

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هوmakeFraction{2}{3} جا (2س + 1) + ث، وهو غير صحيح. المعامل الصحيح هوmakeFraction{3}{2}.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا (أس+ب)، جتا (أس+ب)، قا²(أس+ب)، صفحة 149)

الإجابة الصحيحة (صح)

1. توزيع التكامل:
   makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{0}{س}{س} − makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{0}{جا س}{س}
2. إيجاد التكامل غير المحدود:
   makeFraction{makePower{س}{2}}{2} − (−جتا س) = makeFraction{makePower{س}{2}}{2} + جتا س
3. التعويض بالحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   = makeParentheses{makeFraction{makePower{س}{2}}{2} + جتا س}_{0}^{makeSmallFraction{π}{2}}
   = makeParentheses{makeFraction{makePower{(makeSmallFraction{π}{2})}{2}}{2} + جتا(makeSmallFraction{π}{2})} − makeParentheses{makeFraction{0}{2} + جتا(0)}
   = makeParentheses{makeFraction{makePower{π}{2}}{8} + 0} − (0 + 1)
   = makeFraction{makePower{π}{2}}{8} − 1

النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد هذا التكامل، يجب أولاً استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية لتحويلظا² سإلى صيغة قابلة للتكامل.

1. استخدام المتطابقة:نعلم أن1 + ظا² س = قا² س، ومنها فإنظا² س = قا² س − 1.
2. إجراء التكامل:
   makeIntegral{ظا² س}{س} = makeIntegral{(قا² س − 1)}{س}
3. توزيع التكامل:
   = makeIntegral{قا² س}{س} − makeIntegral{1}{س}
4. حساب الناتج:نعلم أن تكاملقا² سهوظا س، وتكامل 1 هوس.
   الناتج النهائي هوظا س − س + ث.

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هوقا² س + ث، وهو غير صحيح.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جا س، جتا س، قا² س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لنحلل طرفي المعادلة بشكل منفصل:

1. الطرف الأيمن (الاشتقاق):
   باستخدام قاعدة السلسلة، مشتقةجتا(2س)هي:
   makeFraction{د}{دس} (جتا 2س) = −جا(2س) × 2 = −2 جا 2س.
2. الطرف الأيسر (المتطابقة):
   الصيغةجتا² س − جا² سهي إحدى صيغ متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام، وهي تساويجتا 2س.

بالمقارنة، نجد أن:
الطرف الأيمن =−2 جا 2س
الطرف الأيسر =جتا 2س

بما أن−2 جا 2س ≠ جتا 2س، فإن العبارة خاطئة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 3-6: مشتقة جتا س، صفحة 144. والفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف الزوايا، صفحة 43)