الإجابة الصحيحة (خطأ)

القاعدة الصحيحة لتكامل دالة جيب التمام هي:

makeIntegral{جتا (أس + ب)}{س} = makeFraction{1}{أ} جا (أس + ب) + ث

بتطبيق هذه القاعدة على السؤال:

1. التكامل الصحيح:
   makeIntegral{3 جتا (2س + 1)}{س} = 3 makeParentheses{makeFraction{1}{2} جا (2س + 1)} + ث
2. الناتج النهائي:
   = makeFraction{3}{2} جا (2س + 1) + ث

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هوmakeFraction{2}{3} جا (2س + 1) + ث، وهو غير صحيح. المعامل الصحيح هوmakeFraction{3}{2}.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا (أس+ب)، جتا (أس+ب)، قا²(أس+ب)، صفحة 149)

الإجابة الصحيحة (صح)

1. توزيع التكامل:
   makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{0}{س}{س} − makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{0}{جا س}{س}
2. إيجاد التكامل غير المحدود:
   makeFraction{makePower{س}{2}}{2} − (−جتا س) = makeFraction{makePower{س}{2}}{2} + جتا س
3. التعويض بالحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   = makeParentheses{makeFraction{makePower{س}{2}}{2} + جتا س}_{0}^{makeSmallFraction{π}{2}}
   = makeParentheses{makeFraction{makePower{(makeSmallFraction{π}{2})}{2}}{2} + جتا(makeSmallFraction{π}{2})} − makeParentheses{makeFraction{0}{2} + جتا(0)}
   = makeParentheses{makeFraction{makePower{π}{2}}{8} + 0} − (0 + 1)
   = makeFraction{makePower{π}{2}}{8} − 1

النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (makeFraction{-2}{س makeSqrt{makePower{س}{4}−1}})

1. التفاضل الضمني:
   makeFraction{د}{دس}(makePower{س}{2}) = makeFraction{د}{دس}(قتا ص)
   2س = −قتا ص ظتا ص makeFraction{دص}{دس}
2. عزل (دص/دس):
   makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{2س}{−قتا ص ظتا ص}
3. التعويض بدلالة س:
   نعلم أنقتا ص = makePower{س}{2}.
   ومن المتطابقة1 + makePower{ظتا}{2} ص = makePower{قتا}{2} ص، نجد أنظتا ص = makeSqrt{makePower{قتا}{2} ص − 1} = makeSqrt{makePower{(makePower{س}{2})}{2} − 1} = makeSqrt{makePower{س}{4} − 1}.
4. التبسيط النهائي:
   makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−2س}{makePower{س}{2} makeSqrt{makePower{س}{4} − 1}} = makeFraction{−2}{س makeSqrt{makePower{س}{4} − 1}}

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 6-6: مشتقة الدوال الضمنية التي تحوي نسباً مثلثية، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (makeFraction{1}{2} جتا(1 - 2س) + ث)

نستخدم القاعدة:makeIntegral{جا(أس + ب)}{س} = −makeFraction{1}{أ} جتا(أس + ب) + ث.

في هذا السؤال،أ = -2.

إذن، التكامل هو:
−makeFraction{1}{-2} جتا(1 - 2س) + ث = makeFraction{1}{2} جتا(1 - 2س) + ث.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا (أس+ب)، جتا (أس+ب)، قا²(أس+ب)، صفحة 149)