الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد هذا التكامل، يجب أولاً استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية لتحويلظا² سإلى صيغة قابلة للتكامل.

1. استخدام المتطابقة:نعلم أن1 + ظا² س = قا² س، ومنها فإنظا² س = قا² س − 1.
2. إجراء التكامل:
   makeIntegral{ظا² س}{س} = makeIntegral{(قا² س − 1)}{س}
3. توزيع التكامل:
   = makeIntegral{قا² س}{س} − makeIntegral{1}{س}
4. حساب الناتج:نعلم أن تكاملقا² سهوظا س، وتكامل 1 هوس.
   الناتج النهائي هوظا س − س + ث.

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هوقا² س + ث، وهو غير صحيح.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جا س، جتا س، قا² س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لنحلل طرفي المعادلة بشكل منفصل:

1. الطرف الأيمن (الاشتقاق):
   باستخدام قاعدة السلسلة، مشتقةجتا(2س)هي:
   makeFraction{د}{دس} (جتا 2س) = −جا(2س) × 2 = −2 جا 2س.
2. الطرف الأيسر (المتطابقة):
   الصيغةجتا² س − جا² سهي إحدى صيغ متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام، وهي تساويجتا 2س.

بالمقارنة، نجد أن:
الطرف الأيمن =−2 جا 2س
الطرف الأيسر =جتا 2س

بما أن−2 جا 2س ≠ جتا 2س، فإن العبارة خاطئة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 3-6: مشتقة جتا س، صفحة 144. والفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف الزوايا، صفحة 43)

الإجابة الصحيحة (makeFraction{π}{30} قا² 2س‎°)

قواعد التفاضل المثلثية القياسية تتطلب أن تكون الزاوية بالتقدير الدائري (الراديان). لذلك، يجب تحويل الزاوية أولاً.

1. تحويل الزاوية من الدرجات إلى الراديان:
   لتحويلس‎°إلى راديان، نضرب فيmakeFraction{π}{180}.
   إذن،2س‎° = 2س × makeFraction{π}{180} = makeFraction{π س}{90}راديان.
2. إعادة كتابة الدالة:
   الدالة تصبح3 ظا makeParentheses{makeFraction{π س}{90}}.
3. الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة:
   makeFraction{د}{دس} makeParentheses{3 ظا makeParentheses{makeFraction{π س}{90}}} = 3 × makeParentheses{قا² makeParentheses{makeFraction{π س}{90}}} × makeParentheses{مشتقة makeFraction{π س}{90}}
   مشتقةmakeFraction{π س}{90}هيmakeFraction{π}{90}.
4. تجميع الناتج:
   المشتقة= 3 × قا² makeParentheses{makeFraction{π س}{90}} × makeFraction{π}{90}
   = makeFraction{3π}{90} قا² makeParentheses{makeFraction{π س}{90}}
   = makeFraction{π}{30} قا² makeParentheses{makeFraction{π س}{90}}
5. إعادة الزاوية إلى الدرجات (للإجابة النهائية):
   = makeFraction{π}{30} قا² (2س‎°)

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 4-6: مشتقة دالة الظل، صفحة 145)

الإجابة الصحيحة (جا س + ث)

1. تبسيط المقدار:نعلم أنظتا س = makeFraction{جتا س}{جا س}.
   إذن،ظتا س جا س = makeParentheses{makeFraction{جتا س}{جا س}} جا س = جتا س.
2. إجراء التكامل:الآن نكامل الدالة المبسطة.
   makeIntegral{جتا س}{س} = جا س + ث.

الناتج النهائي يتطابق مع الخيار الصحيح.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)