1- makeIntegral{makeFraction{1}{3} جا (6 س + 1)}{س} = 2 جتا (6 س + 1) + ث شرح السؤال تذكر القاعدة الأساسية لتكامل دالة الجيب (جا). عند تكاملجا (أس + ب)، ما هو المعامل الذي يظهر أمام دالة جيب التمام (جتا) بعد إجراء التكامل؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد تكامل الدالة، نستخدم القاعدة الأساسية لتكامل الدوال المثلثية. القاعدة تقول إن تكاملجا (أس + ب)هو−makeFraction{1}{أ} جتا(أس+ب).نخرج الثابتmakeFraction{1}{3}خارج التكامل:makeFraction{1}{3} makeIntegral{جا (6 س + 1)}{س}.نكاملجا (6 س + 1). هناأ = 6، فيكون ناتج التكامل−makeFraction{1}{6} جتا (6 س + 1).نضرب الناتج في الثابت الذي أخرجناه:makeFraction{1}{3} × (−makeFraction{1}{6} جتا (6 س + 1)) + ث = −makeFraction{1}{18} جتا (6 س + 1) + ث.النتيجة الصحيحة (−makeFraction{1}{18}) تختلف عن المعامل (2) المذكور في السؤال، لذا العبارة خاطئة.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا(أس+ب)...، صفحة 149)
2- makeLimit{س ← 0}{makeFraction{ظا س}{س}} = 1 شرح السؤال هذه إحدى النهايات المثلثية الأساسية. كيف يمكن اشتقاقها من نهاية دالة الجيبmakeFraction{جا س}{س}؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه النتيجة هي إحدى النتائج القياسية والمهمة في حساب نهايات الدوال المثلثية. يمكن إثباتها بسهولة باستخدام المتطابقةظا س = makeFraction{جا س}{جتا س}.makeLimit{س ← 0}{makeFraction{ظا س}{س}} = makeLimit{س ← 0}{makeFraction{جا س}{س × جتا س}}يمكننا فصل النهاية إلى جزأين:= makeParentheses{makeLimit{س ← 0}{makeFraction{جا س}{س}}} × makeParentheses{makeLimit{س ← 0}{makeFraction{1}{جتا س}}}بما أنmakeLimit{س ← 0}{makeFraction{جا س}{س}} = 1وجتا(0) = 1، فإن الناتج هو:1 × makeFraction{1}{1} = 1.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 1-6: مفاهيم أساسية، صفحة 140)
3- makeDefIntegral{π}{makeSmallFraction{π}{2}}{جتا 2 س}{س}= شرح السؤال ما هو تكامل دالةجتا(أس)؟ بعد إيجاد التكامل غير المحدود، لا تنسَ التعويض بالحدود العلوية والسفلية وطرح النتيجتين. 2 -1 1 صفر الإجابة الصحيحة (صفر)إيجاد التكامل غير المحدود:makeIntegral{جتا 2 س}{س} = makeFraction{1}{2} جا 2 سحساب قيمة التكامل المحدود:makeParentheses{makeFraction{1}{2} جا 2 س}_{makeSmallFraction{π}{2}}^{π}=makeParentheses{makeFraction{1}{2} جا (2π)} − makeParentheses{makeFraction{1}{2} جا (2 × makeSmallFraction{π}{2})}=makeParentheses{makeFraction{1}{2} جا (2π)} − makeParentheses{makeFraction{1}{2} جا (π)}التعويض بالقيم المثلثية:نعلم أنجا(2π) = 0وجا(π) = 0.=makeParentheses{makeFraction{1}{2} × 0} − makeParentheses{makeFraction{1}{2} × 0} = 0.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 8-6: تكامل جا أس، جتا أس، ...، صفحة 148)
4- makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{4}}{0}{(1 − قا² س)}{س}= شرح السؤال هل يمكنك تبسيط المقدار داخل التكامل باستخدام إحدى المتطابقات المثلثية الأساسية التي تربط بينقا² سوظا² س؟ 1 + makeSmallFraction{π}{8} 1 + makeFraction{π²}{4} 1 + makeFraction{π²}{8} makeFraction{π}{4} − 1 الإجابة الصحيحة (makeFraction{π}{4} − 1)تبسيط المقدار:نكامل كل حد على حدة. تكامل1هوس، وتكاملقا² سهوظا س.حساب التكامل:makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{4}}{0}{(1 − قا² س)}{س}=makeParentheses{ س − ظا س }_{0}^{makeSmallFraction{π}{4}}.التعويض بالحدود:=makeParentheses{makeFraction{π}{4} − ظا(makeFraction{π}{4})} − makeParentheses{0 − ظا(0)}=makeParentheses{makeFraction{π}{4} − 1} − (0 − 0) = makeFraction{π}{4} − 1.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جا س، جتا س، قا² س، صفحة 147)
