الإجابة الصحيحة (خطأ)

لنقم باشتقاق الطرف الأيمن أولاً:

makeFraction{د}{دس}(2س − جا 2س) = 2 − 2 جتا 2س

الآن، نستخدم متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام، وتحديداً الصيغة التي تربطه بـmakePower{جا}{2} سوهي:جتا 2س = 1 − 2 makePower{جا}{2} س.

نعوض بهذه المتطابقة في ناتج الاشتقاق:

2 − 2(1 − 2 makePower{جا}{2} س) = 2 − 2 + 4 makePower{جا}{2} س = 4 makePower{جا}{2} س

بمقارنة هذا الناتج بالطرف الأيسر من المعادلة المعطاة (ك makePower{جا}{2} س)، نجد أن:

4 makePower{جا}{2} س = ك makePower{جا}{2} س

إذن، قيمةك = 4وليس 3.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 2-6: مشتقة دالة الجيب، صفحة 143)

الإجابة الصحيحة (صح)

نحسب المشتقات المطلوبة أولاً:

• الدالة:ص = جتا س
• المشتقة الأولى:ص' = −جا س
• المشتقة الثانية:ص'' = −جتا س

الآن نعوض بهذه المشتقات في المقدار المعطى في السؤال:

makePower{(ص')}{2} − ص ص'' = makePower{(−جا س)}{2} − (جتا س)(−جتا س)

= makePower{جا}{2} س − (−makePower{جتا}{2} س)

= makePower{جا}{2} س + makePower{جتا}{2} س

باستخدام متطابقة فيثاغورس الأساسية، نعلم أنmakePower{جا}{2} س + makePower{جتا}{2} س = 1.

إذن، قيمة المقدار تساوي 1، وهو ما يتطابق مع السؤال.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 3-6: مشتقة دالة جيب التمام، صفحة 144)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لحساب هذه النهاية، يمكننا استخدام قاعدة لوبيتال لأن التعويض المباشر يعطيmakeSmallFraction{0}{0}.

باشتقاق البسط والمقام بالنسبة لـس، نحصل على:

makeLimit{س ← 0}{makeFraction{makeFraction{د}{دس}(جا 3س)}{makeFraction{د}{دس}(1 − جتا س)}} = makeLimit{س ← 0}{makeFraction{3 جتا 3س}{جا س}}

الآن، ندرس النهاية من اليمين ومن اليسار:

• عندما تقتربسمن الصفر من اليمين (س ← 0+)، فإن البسط يقترب من 3 والمقام يقترب من 0 من الجهة الموجبة. إذن، النهاية اليمنى هي+∞.
• عندما تقتربسمن الصفر من اليسار (س ← 0−)، فإن البسط يقترب من 3 والمقام يقترب من 0 من الجهة السالبة. إذن، النهاية اليسرى هي−∞.

بما أن النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار، فإن النهاية الكلية **غير موجودة**. وبالتالي، هي لا تساوي 2.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 1-6: مفاهيم أساسية، صفحة 140)

الإجابة الصحيحة (-1)

ميل المماس هو قيمة المشتقة الأولى عند النقطة المحددة.

1. إيجاد المشتقة:باستخدام قاعدة تفاضل حاصل الضرب.
   makeFraction{دص}{دس} = (1)(قا س) + (س)(قا س ظا س)
2. التعويض بالنقطة:نعوض بقيمةس = πفي المشتقة.
   الميل =قا(π) + π قا(π) ظا(π)
3. حساب القيم المثلثية:
   • جتا(π) = −1، إذنقا(π) = makeFraction{1}{−1} = −1.
   • ظا(π) = 0.
4. حساب الميل النهائي:
   الميل =(−1) + π(−1)(0) = −1 + 0 = −1.

إذن، ميل المماس عند النقطة المطلوبة هو−1.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 4-6: مشتقة دالة الظل، صفحة 145)