الإجابة الصحيحة (خطأ)

الصيغة المذكورة في السؤالح = π makeDefIntegral{ب}{أ}{makePower{ص}{2}}{س}هي صيغة حساب الحجم الدوراني عند الدوران حول محورالسينات.

الصيغة الصحيحة لحساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محورالصاداتهي:

ح = π makeDefIntegral{د}{ج}{makePower{س}{2}}{ص}

حيث تكون حدود التكامل (ج، د) على محور الصادات، ويجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير ص.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)

الإجابة الصحيحة (صح)

1. فحص تغير الاتجاه:نرى متى تكون السرعة صفراً:9 − makeFraction{1}{4}makePower{ن}{2} = 0يؤدي إلىmakePower{ن}{2} = 36، أين = 6. بما أنن = 6خارج الفترة [2، 3]، فإن الجسم لا يغير اتجاهه، وبالتالي المسافة تساوي الإزاحة.
2. إعداد التكامل:المسافة (ف) هي تكامل السرعة (ع).
   ف = makeDefIntegral{3}{2}{makeParentheses{9 − makeFraction{1}{4} makePower{ن}{2}}}{ن}
3. حساب التكامل:
   ف = makeParentheses{9ن − makeFraction{makePower{ن}{3}}{12}}_{2}^{3}
   = makeParentheses{9(3) − makeFraction{27}{12}} − makeParentheses{9(2) − makeFraction{8}{12}}
   = makeParentheses{27 − makeFraction{9}{4}} − makeParentheses{18 − makeFraction{2}{3}}
   = makeParentheses{makeFraction{108 - 9}{4}} − makeParentheses{makeFraction{54 - 2}{3}} = makeFraction{99}{4} - makeFraction{52}{3}
   = makeFraction{297 - 208}{12} = makeFraction{89}{12}

الناتج المحسوب يطابق القيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)

الإجابة الصحيحة (صح)

العبارة تصف التعريف الأساسي للتكامل المحدود كوسيلة لحساب المساحة تحت منحنى دالة.

إذا كانت الدالةص = د(س)موجبة ومستمرة في الفترة[أ ، ب]، فإن المساحة (م) المحصورة بين المنحنى ومحور السينات والمستقيمينس = أوس = بتُعطى بدقة بواسطة التكامل المحدود:

م = makeDefIntegral{ب}{أ}{د(س)}{س}

العبارة صحيحة تماماً.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 105)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

1. صيغة الحجم:ح = π makeDefIntegral{ب}{أ}{makePower{ص}{2}}{س}
2. تربيع الدالة:
   makePower{ص}{2} = makePower{(makePower{س}{2} + 2)}{2} = makePower{س}{4} + 4makePower{س}{2} + 4
3. إعداد التكامل:
   ح = π makeDefIntegral{2}{0}{(makePower{س}{4} + 4makePower{س}{2} + 4)}{س}
4. حساب التكامل:
   ح = π makeParentheses{makeFraction{makePower{س}{5}}{5} + makeFraction{4makePower{س}{3}}{3} + 4س}_{0}^{2}
   = π makeParentheses{makeParentheses{makeFraction{makePower{2}{5}}{5} + makeFraction{4makePower{2}{3}}{3} + 4(2)} - (0)}
   = π makeParentheses{makeFraction{32}{5} + makeFraction{32}{3} + 8}
   = π makeParentheses{makeFraction{96 + 160 + 120}{15}} = makeFraction{376}{15}π

الناتج الصحيح هوmakeFraction{376}{15}π، بينما القيمة المذكورة في السؤال هيmakeFraction{367}{15}π. لذا، العبارة خاطئة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)