1- مساحة المنطقة المحاطة بالمنحنىص = makeFraction{1}{4} makePower{س}{2} + 4ومحور السينات والمستقيمانس = 1،س = 2تساويmakeMixedFraction{4}{7}{12}وحدة مربعة. شرح السؤال لإيجاد المساحة تحت منحنى، ما هي العملية الحسابية التي يجب أن تقوم بها؟ تذكر أنها تتضمن حساب التكامل للدالة بين حدي التكامل المذكورين. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحساب مساحة المنطقة المحددة، نستخدم التكامل المحدود للدالةصمنس = 1إلىس = 2.إعداد التكامل:المساحة (م)= makeDefIntegral{2}{1}{makeParentheses{makeFraction{1}{4} makePower{س}{2} + 4}}{س}إيجاد التكامل غير المحدود:makeIntegral{makeParentheses{makeFraction{1}{4} makePower{س}{2} + 4}}{س} = makeFraction{1}{4} makeParentheses{makeFraction{makePower{س}{3}}{3}} + 4س = makeFraction{makePower{س}{3}}{12} + 4سحساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):م= makeParentheses{makeFraction{makePower{س}{3}}{12} + 4س}_{1}^{2}م= makeParentheses{makeFraction{makePower{2}{3}}{12} + 4(2)} − makeParentheses{makeFraction{makePower{1}{3}}{12} + 4(1)}م= makeParentheses{makeFraction{8}{12} + 8} − makeParentheses{makeFraction{1}{12} + 4}م= makeParentheses{makeFraction{8 + 96}{12}} − makeParentheses{makeFraction{1 + 48}{12}}م= makeFraction{104}{12} − makeFraction{49}{12} = makeFraction{55}{12}تحويل الكسر إلى عدد كسري:makeFraction{55}{12} = makeMixedFraction{4}{7}{12}وحدة مربعة.النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 108)
2- حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنىص = س³ومحور الصادات والمستقيمانص = 1،ص = 8في الربع الأول حول محور ص دورة كاملة يساويmakeMixedFraction{18}{3}{5} πوحدة مكعبة. شرح السؤال عندما يتم الدوران حول محور الصادات، ما هي صيغة حساب الحجم؟ تذكر أنه يجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير (ص) ثم إجراء التكامل بالنسبة لـ (ص). صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)صيغة حساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي:ح = π makeDefIntegral{ب}{أ}{makePower{س}{2}}{ص}تجهيز الدالة:يجب التعبير عنس²بدلالةص. من معادلة المنحنىص = س³، نجد أنس = makePower{ص}{makeSmallFraction{1}{3}}. بتربيع الطرفين نحصل علىس² = makePower{ص}{makeSmallFraction{2}{3}}.حدود التكامل:الدوران حول محور الصادات، والمنطقة محددة بالمستقيمينص = 1وص = 8، إذن حدود التكامل هي من 1 إلى 8.حساب التكامل:ح = π makeDefIntegral{8}{1}{makePower{ص}{makeSmallFraction{2}{3}}}{ص}ح = π makeParentheses{makeFraction{makePower{ص}{makeSmallFraction{5}{3}}}{makeSmallFraction{5}{3}}}_{1}^{8} = π makeParentheses{makeFraction{3}{5} makePower{ص}{makeSmallFraction{5}{3}}}_{1}^{8}ح = makeFraction{3π}{5} makeParentheses{makePower{8}{makeSmallFraction{5}{3}} − makePower{1}{makeSmallFraction{5}{3}}}ح = makeFraction{3π}{5} makeParentheses{makePower{(makeCuberoot{8})}{5} − 1} = makeFraction{3π}{5} (2⁵ − 1) = makeFraction{3π}{5} (32 − 1) = makeFraction{93π}{5}مقارنة الناتج:makeFraction{93}{5} = makeMixedFraction{18}{3}{5}.الناتج الذي حصلنا عليه(makeMixedFraction{18}{3}{5} π)مطابق للقيمة المذكورة في السؤال.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
3- يتحرك جسيم في خط مستقيم بحيث عجلته بعد ن ثانية جـ م/ث² تعطى بالعلاقةجـ = 3ن² − 2ن، فإذا كانت السرعة الابتدائية للجسيم 8 م/ث، فإن سرعته بعد 2 ثانية تساوي ...... م/ث. شرح السؤال للحصول على السرعة من العجلة، تحتاج إلى إجراء عملية التكامل. لا تنسَ استخدام الشرط الابتدائي (السرعة الابتدائية) لإيجاد قيمة ثابت التكامل. 12 8 2 4 الإجابة الصحيحة (12)إيجاد دالة السرعة (ع) بتكامل العجلة:ع(ن) = makeIntegral{(3ن² − 2ن)}{ن} = makeFraction{3ن³}{3} − makeFraction{2ن²}{2} + ث = ن³ − ن² + ثإيجاد ثابت التكامل (ث):نعلم أن السرعة الابتدائية (عندن = 0) هي 8 م/ث.ع(0) = 8=>(0)³ − (0)² + ث = 8=>ث = 8.إذن، معادلة السرعة الكاملة هيع(ن) = ن³ − ن² + 8.حساب السرعة بعد 2 ثانية:نعوض بـن = 2في معادلة السرعة.ع(2) = (2)³ − (2)² + 8 = 8 − 4 + 8 = 12م/ث.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)
4- حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحاطة بالمنحنىص = makeSqrt{4 − س²}ومحور السينات دورة كاملة حول محور السينات يساوي ...... وحدة مكعبة. شرح السؤال المنحنىص = makeSqrt{4 − س²}يمثل نصف دائرة. ما هي حدود التكامل على محور السينات؟ ثم طبّق صيغة الحجم الدوراني. makeMixedFraction{3}{1}{4} π makeMixedFraction{10}{2}{3} π makeMixedFraction{4}{1}{2} π makeMixedFraction{9}{3}{4} π الإجابة الصحيحة (makeMixedFraction{10}{2}{3} π)تحديد حدود التكامل:المنطقة محاطة بمحور السينات (ص = 0). نجد نقاط التقاطع:0 = makeSqrt{4 − س²}=>0 = 4 − س²=>س² = 4=>س = ±2.إذن حدود التكامل من -2 إلى 2.تطبيق صيغة الحجم:ح = π makeDefIntegral{2}{-2}{ص²}{س}ح = π makeDefIntegral{2}{-2}{makePower{(makeSqrt{4 − س²})}{2}}{س} = π makeDefIntegral{2}{-2}{(4 − س²)}{س}حساب التكامل:= π makeParentheses{4س − makeFraction{س³}{3}}_{-2}^{2}= π makeParentheses{makeParentheses{4(2) − makeFraction{2³}{3}} − makeParentheses{4(−2) − makeFraction{(−2)³}{3}}}= π makeParentheses{makeParentheses{8 − makeFraction{8}{3}} − makeParentheses{−8 − makeFraction{−8}{3}}}= π makeParentheses{makeFraction{16}{3} − makeParentheses{−makeFraction{16}{3}}} = π makeParentheses{makeFraction{16}{3} + makeFraction{16}{3}} = makeFraction{32π}{3}.تحويل الكسر إلى عدد كسري:makeFraction{32}{3} = makeMixedFraction{10}{2}{3}.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
