الإجابة الصحيحة (خطأ)

نقطة الانقلاب تحدث عندما تتغير إشارة المشتقة الثانية، وهذا يتطلب أن تكون المشتقة الثانية تساوي صفراً عند هذه النقطة.

1. المشتقة الأولى:makeFraction{دص}{دس} = 4makePower{س}{3}.
2. المشتقة الثانية:makeFraction{د²ص}{دس²} = 12makePower{س}{2}.
3. البحث عن نقطة الانقلاب:نضع المشتقة الثانية تساوي صفراً.
   12makePower{س}{2} = 0=>س = 0.
4. فحص تغير الإشارة:
   • عندما تكونس < 0(مثلاً س=-1)، فإنmakeFraction{د²ص}{دس²} = 12(−1)² = 12(موجبة).
   • عندما تكونس > 0(مثلاً س=1)، فإنmakeFraction{د²ص}{دس²} = 12(1)² = 12(موجبة).

بما أن إشارة المشتقة الثانية لا تتغير حولس = 0(تبقى موجبة دائماً)، فإنه لا توجد نقطة انقلاب للدالة.

(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 4-4: نقطة الانقلاب، صفحة 92)

الإجابة الصحيحة (صح)

عند النقطة الحرجة، تكون قيمة المشتقة الأولى للدالة تساوي صفراً.

1. إيجاد المشتقة الأولى:
   makeFraction{دص}{دس} = 9makePower{س}{2} + 2أ س.
2. التعويض بالقيم المعطاة:
   نعلم أن المشتقة تساوي صفراً عندماس = −1.
   0 = 9makePower{(−1)}{2} + 2أ (−1)
3. حل المعادلة لإيجاد 'أ':
   0 = 9(1) − 2أ
   2أ = 9
   أ = makeFraction{9}{2}

قيمة 'أ' التي حصلنا عليها مطابقة للقيمة المذكورة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقطة الحرجة، صفحة 82)

الإجابة الصحيحة (صح)

هذه العبارة تمثل تطبيقاً صحيحاً ومباشراًلقاعدة السلسلة (Chain Rule)في سياق المعدلات الزمنية المرتبطة.

إذا كانت المساحةمدالة في نصف القطرنق، وكان نصف القطرنقبدوره دالة في الزمنن، فإن معدل تغير المساحة بالنسبة للزمنmakeParentheses{makeFraction{دم}{دن}}يساوي حاصل ضرب معدل تغير المساحة بالنسبة لنصف القطرmakeParentheses{makeFraction{دم}{دنق}}في معدل تغير نصف القطر بالنسبة للزمنmakeParentheses{makeFraction{دنق}{دن}}.

العبارة صحيحة.

(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 1-4: المعدلات الزمنية، صفحة 75)

الإجابة الصحيحة (صح)

هذا هو التعريف الدقيق لاختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة (المحلية):

• الشرط الأولmakeFraction{دص}{دس} = 0:يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة أفقي، مما يجعلها نقطة حرجة (إما عظمى أو صغرى أو انقلاب).
• الشرط الثانيmakeFraction{د²ص}{دس²} < 0(سالبة):يعني أن معدل تغير الميل سالب، أي أن المنحنى مقعر لأسفل عند هذه النقطة. هذا الشكل المقعر لأسفل هو السمة المميزة للنقطة العظمى المحلية.

لذلك، عندما يتحقق الشرطان معًا، تكون النقطة نقطة محلية عظمى. العبارة صحيحة تمامًا.

(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، اختبار المشتقة الثانية، صفحة 86)