1- الدالةص = makePower{س}{4} − 1لها نقطة انقلاب محلية. شرح السؤال لإيجاد نقطة الانقلاب، نحتاج إلى المشتقة الثانية. أوجد المشتقة الثانية وساوِها بالصفر. هل توجد قيمة حقيقية لـ 'س' تحقق المعادلة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)نقطة الانقلاب تحدث عندما تتغير إشارة المشتقة الثانية، وهذا يتطلب أن تكون المشتقة الثانية تساوي صفراً عند هذه النقطة.المشتقة الأولى:makeFraction{دص}{دس} = 4makePower{س}{3}.المشتقة الثانية:makeFraction{د²ص}{دس²} = 12makePower{س}{2}.البحث عن نقطة الانقلاب:نضع المشتقة الثانية تساوي صفراً.12makePower{س}{2} = 0=>س = 0.فحص تغير الإشارة:عندما تكونس < 0(مثلاً س=-1)، فإنmakeFraction{د²ص}{دس²} = 12(−1)² = 12(موجبة).عندما تكونس > 0(مثلاً س=1)، فإنmakeFraction{د²ص}{دس²} = 12(1)² = 12(موجبة).بما أن إشارة المشتقة الثانية لا تتغير حولس = 0(تبقى موجبة دائماً)، فإنه لا توجد نقطة انقلاب للدالة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 4-4: نقطة الانقلاب، صفحة 92)
2- إذا كانص = 3makePower{س}{3} + أ makePower{س}{2}له نقطة حرجة عندماس = −1فإن قيمةأ = makeFraction{9}{2} شرح السؤال النقطة الحرجة هي النقطة التي تكون عندها المشتقة الأولى تساوي صفراً. أوجد المشتقة الأولى للدالة، ثم ساوِها بالصفر وعوض بقيمة 'س' المعطاة لحل المعادلة وإيجاد قيمة 'أ'. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)عند النقطة الحرجة، تكون قيمة المشتقة الأولى للدالة تساوي صفراً.إيجاد المشتقة الأولى:makeFraction{دص}{دس} = 9makePower{س}{2} + 2أ س.التعويض بالقيم المعطاة:نعلم أن المشتقة تساوي صفراً عندماس = −1.0 = 9makePower{(−1)}{2} + 2أ (−1)حل المعادلة لإيجاد 'أ':0 = 9(1) − 2أ2أ = 9أ = makeFraction{9}{2}قيمة 'أ' التي حصلنا عليها مطابقة للقيمة المذكورة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقطة الحرجة، صفحة 82)
3- makeFraction{دم}{دن} = makeFraction{دم}{دنق} × makeFraction{دنق}{دن} شرح السؤال هذه هي قاعدة السلسلة (Chain Rule) للتفاضل. هل هي مكتوبة بشكل صحيح لربط معدلات التغير؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه العبارة تمثل تطبيقاً صحيحاً ومباشراًلقاعدة السلسلة (Chain Rule)في سياق المعدلات الزمنية المرتبطة.إذا كانت المساحةمدالة في نصف القطرنق، وكان نصف القطرنقبدوره دالة في الزمنن، فإن معدل تغير المساحة بالنسبة للزمنmakeParentheses{makeFraction{دم}{دن}}يساوي حاصل ضرب معدل تغير المساحة بالنسبة لنصف القطرmakeParentheses{makeFraction{دم}{دنق}}في معدل تغير نصف القطر بالنسبة للزمنmakeParentheses{makeFraction{دنق}{دن}}.العبارة صحيحة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 1-4: المعدلات الزمنية، صفحة 75)
4- تعطى بالعلاقة بين الإزاحة ف متر لجسم في زمن ن ثانية كالآتيف = 3makePower{ن}{2} − 12نفإن إزاحة الجسم عندما يسكن لحظياً تساوي شرح السؤال "يسكن لحظياً" يعني أن السرعة تساوي صفراً. أوجد أولاً دالة السرعة باشتقاق الإزاحة، ثم أوجد الزمن الذي تكون فيه السرعة صفراً. أخيراً، عوض بهذا الزمن في معادلة الإزاحة الأصلية. 12 م −6 م 6 م −12 م الإجابة الصحيحة (−12 م)إيجاد دالة السرعة (ع):ع = makeFraction{دف}{دن} = 6ن − 12.إيجاد زمن السكون اللحظي:نضع السرعة تساوي صفراً.6ن − 12 = 0=>6ن = 12=>ن = 2ثانية.حساب الإزاحة عند زمن السكون:نعوض بـن = 2في معادلة الإزاحة الأصلية.ف = 3makePower{(2)}{2} − 12(2) = 3(4) − 24 = 12 − 24 = −12متر.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
