1- إذا كانmakeFraction{دص}{دس} = 0،makeFraction{د²ص}{دس²} < 0عند نقطة على المنحنى، فإن النقطة تكون نقطة محلية عظمى. شرح السؤال هذا السؤال يتعلق باختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة. ماذا تعني إشارة المشتقة الثانية؟ تذكر أن الإشارة السالبة تشير إلى أن المنحنى "مقعر لأسفل". صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذا هو التعريف الدقيق لاختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة (المحلية):الشرط الأولmakeFraction{دص}{دس} = 0:يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة أفقي، مما يجعلها نقطة حرجة (إما عظمى أو صغرى أو انقلاب).الشرط الثانيmakeFraction{د²ص}{دس²} < 0(سالبة):يعني أن معدل تغير الميل سالب، أي أن المنحنى مقعر لأسفل عند هذه النقطة. هذا الشكل المقعر لأسفل هو السمة المميزة للنقطة العظمى المحلية.لذلك، عندما يتحقق الشرطان معًا، تكون النقطة نقطة محلية عظمى. العبارة صحيحة تمامًا.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، اختبار المشتقة الثانية، صفحة 86)
2- ميل المنحنى عند النقطة المحلية يساوي صفراً. شرح السؤال ما هو التعريف الهندسي للنقطة المحلية (أو الحرجة)؟ فكر في شكل المماس للمنحنى عند هذه النقطة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه هي السمة الأساسية التي تُعرّف النقطة المحلية (الحرجة) على منحنى دالة قابلة للاشتقاق.عند النقطة المحلية، سواء كانت عظمى أو صغرى، فإن مماس المنحنى يكون أفقياً تماماً. والمستقيم الأفقي ميله يساوي صفراً. رياضياً، هذا يعني أن المشتقة الأولى للدالةmakeParentheses{makeFraction{دص}{دس}}، والتي تمثل دالة الميل، تساوي صفراً عند هذه النقطة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقط المحلية (الحرجة)، صفحة 82)
3- إذا كانف = ن (ن − 3)²حيث ف مسافة بالمتر، ن الزمن بالثانية، فإن الوقت عندما تساوي العجلة صفراً يساوي ...... ثانية. شرح السؤال للوصول إلى العجلة من معادلة المسافة، تحتاج إلى الاشتقاق مرتين. المرة الأولى تعطيك السرعة، والمرة الثانية تعطيك العجلة. 2 12 3 4 الإجابة الصحيحة (2)نتبع الخطوات التالية للوصول من المسافة إلى العجلة:تبسيط دالة المسافة (ف):ف = ن (ن² − 6ن + 9) = ن³ − 6ن² + 9نإيجاد دالة السرعة (ع) باشتقاق المسافة:ع = makeFraction{دف}{دن} = 3ن² − 12ن + 9إيجاد دالة العجلة (جـ) باشتقاق السرعة:جـ = makeFraction{دع}{دن} = 6ن − 12حل المعادلة عندما تكون العجلة صفراً:6ن − 12 = 06ن = 12ن = 2ثانية.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
4- يتحرك جسيم في خط مستقيم بحيث كانت سرعته م/ث تعطى بالعلاقةع = ن² − 5ن − 6، فإن عجلته عندما يتوقف لحظياً تساوي ……………… م/ث² شرح السؤال هذه مسألة من خطوتين: أولاً، أوجد الزمن الذي "يتوقف" فيه الجسيم لحظياً. ثانياً، أوجد العجلة عند ذلك الزمن المحدد. -12 7 5 -6 الإجابة الصحيحة (7)إيجاد زمن التوقف اللحظي:التوقف اللحظي يعني أن السرعةع = 0.ن² − 5ن − 6 = 0بالتحليل:(ن − 6)(ن + 1) = 0.الحلان همان = 6أون = −1. بما أن الزمن لا يمكن أن يكون سالباً، فإن زمن التوقف اللحظي هون = 6ثوانٍ.إيجاد دالة العجلة (جـ):العجلة هي مشتقة السرعة بالنسبة للزمن.جـ = makeFraction{دع}{دن} = 2ن − 5حساب العجلة عند زمن التوقف:نعوض بـن = 6في دالة العجلة.جـ = 2(6) − 5 = 12 − 5 = 7م/ث².(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
