الإجابة الصحيحة (خطأ)

القاعدة الصحيحة لتكامل الدالة الأسية هي:
makeIntegral{makePower{هـ}{(أس + ب)}}{س} = makeFraction{1}{أ} makePower{هـ}{(أس + ب)} + ث

في هذا السؤال،أ = −makeFraction{1}{2}.

إذن، التكامل الصحيح هو:
makeFraction{1}{−makeSmallFraction{1}{2}} makePower{هـ}{(1 - makeSmallFraction{س}{2})} + ث = −2 makePower{هـ}{(1 - makeSmallFraction{س}{2})} + ث

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو−makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(1 - makeSmallFraction{س}{2})} + ث، وهو غير صحيح.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)

الإجابة الصحيحة (ظتا س + 2 ظا 2س)

1. تبسيط الدالة باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
   ص = لو(جا س) − لو(جتا 2س)
2. اشتقاق الدالة المبسطة:نستخدم قاعدةmakeFraction{د}{دس} (لو د(س)) = makeFraction{د'(س)}{د(س)}.
   makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{جتا س}{جا س} − makeFraction{−2 جا 2س}{جتا 2س}
3. التبسيط النهائي:
   = ظتا س + 2 makeParentheses{makeFraction{جا 2س}{جتا 2س}}
   = ظتا س + 2 ظا 2س

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)

الإجابة الصحيحة (makePower{هـ}{(أس + ب)} + ث)

1. إخراج الثابت خارج التكامل:
   أ makeIntegral{makePower{هـ}{(أس + ب)}}{س}
2. تطبيق قاعدة تكامل الدالة الأسية:
   makeIntegral{makePower{هـ}{(أس + ب)}}{س} = makeFraction{1}{أ} makePower{هـ}{(أس + ب)} + ث
3. حاصل الضرب النهائي:
   أ makeParentheses{makeFraction{1}{أ} makePower{هـ}{(أس + ب)}} + ث = makePower{هـ}{(أس + ب)} + ث

تُختصر 'أ' من البسط مع 'أ' من المقام، ويبقى الناتج هو الدالة الأسية الأصلية زائد ثابت التكامل.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)

الإجابة الصحيحة (صفر)

1. إيجاد المشتقة (دص/دس):
   بما أن 'ن' و 'ك' ثوابت، فإننا نشتق بالنسبة لـ 'س'.
   makeFraction{دص}{دس} = ن makeParentheses{makePower{هـ}{−ك س} × (−ك)} = −ن ك makePower{هـ}{−ك س}.
2. حساب المقدار المطلوب:
   makeFraction{دص}{دس} + ك ص = (−ن ك makePower{هـ}{−ك س}) + ك (ن makePower{هـ}{−ك س})
3. التبسيط:
   = −ن ك makePower{هـ}{−ك س} + ن ك makePower{هـ}{−ك س} = 0.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)