1- makeIntegral{makePower{هـ}{(makeSmallFraction{1}{2}س + 1)}}{س} = makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(makeSmallFraction{1}{2}س+1)} + ث شرح السؤال تذكر قاعدة تكامل الدالة الأسيةmakePower{هـ}{(أس + ب)}. ما هو المعامل الذي يجب أن يظهر أمام الدالة بعد التكامل؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)القاعدة الصحيحة لتكامل الدالة الأسية الطبيعية هي:makeIntegral{makePower{هـ}{(أس + ب)}}{س} = makeFraction{1}{أ} makePower{هـ}{(أس + ب)} + ثبتطبيق هذه القاعدة على السؤال، نجد أنأ = makeFraction{1}{2}.إذن، التكامل الصحيح هو:makeFraction{1}{makeSmallFraction{1}{2}} makePower{هـ}{(makeSmallFraction{1}{2}س+1)} + ث = 2 makePower{هـ}{(makeSmallFraction{1}{2}س+1)} + ثالعبارة في السؤال تدعي أن الناتج هوmakeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(makeSmallFraction{1}{2}س+1)} + ث، وهو ما يخالف القاعدة. المعامل الصحيح هو 2 وليس ½.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)
2- makeFraction{د}{دس} (لو جا س) = ظتا س شرح السؤال لتفاضل دالة لوغاريتمية مركبةلو(د(س))، نستخدم قاعدة السلسلة. ما هي القاعدة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)نستخدم قاعدة تفاضل الدوال اللوغاريتمية المركبة:makeFraction{د}{دس} (لو د(س)) = makeFraction{د'(س)}{د(س)}.تحديد الدالة الداخلية:د(س) = جا س.إيجاد مشتقتها:د'(س) = جتا س.تطبيق القاعدة:makeFraction{د}{دس} (لو جا س) = makeFraction{جتا س}{جا س}.التبسيط:نعلم أنmakeFraction{جتا س}{جا س} = ظتا س. إذن، الناتج هوظتا س.العبارة في السؤال صحيحة.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
3- إذا كانص = لو makeSqrt{س²+3}فإنmakeFraction{دص}{دس} = شرح السؤال قبل البدء بالاشتقاق، هل يمكنك استخدام إحدى خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الدالة؟ ماذا تفعل خاصية القوة في اللوغاريتمات؟ makeFraction{س}{2(س² + 3)} makeFraction{2س}{س² − 3} makeFraction{−1}{س+3} makeFraction{س}{س²+3} الإجابة الصحيحة (makeFraction{س}{س²+3})من الأفضل دائماً تبسيط الدالة اللوغاريتمية قبل الاشتقاق إن أمكن.استخدام خصائص اللوغاريتمات:نعيد كتابة الجذر التربيعي على صورة أسmakePower{(س²+3)}{makeSmallFraction{1}{2}}.باستخدام خاصية القوةلو(أⁿ) = ن لو(أ)، تصبح الدالة:ص = makeFraction{1}{2} لو (س² + 3).الاشتقاق:الآن نشتق هذه الصيغة المبسطة.مشتقةلو(د(س))هيmakeFraction{د'(س)}{د(س)}.makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{1}{2} × makeFraction{2س}{س²+3}التبسيط النهائي:makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{س}{س²+3}.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
4- makeIntegral{makeFraction{3}{5(2س + 1)}}{س} = شرح السؤال هذا التكامل على الصورةmakeIntegral{makeFraction{ك}{أس + ب}}{س}. تذكر قاعدة تكامل هذه الصورة، ولا تنسَ أخذ الثوابت خارج التكامل أولاً. makeFraction{6}{5} لو (2س + 1) + ث makeFraction{6}{5} س لو (2س + ش) + ث makeFraction{3}{5} لو (2س + 1) + ث makeFraction{3}{10} لو (10س + 5) + ث الإجابة الصحيحة (makeFraction{3}{10} لو (10س + 5) + ث)إخراج الثوابت:makeIntegral{makeFraction{3}{5(2س + 1)}}{س} = makeFraction{3}{5} makeIntegral{makeFraction{1}{2س + 1}}{س}تطبيق قاعدة التكامل:قاعدة تكاملmakeFraction{1}{أس+ب}هيmakeFraction{1}{أ} لو(أس+ب).= makeFraction{3}{5} makeParentheses{makeFraction{1}{2} لو(2س + 1)} + ث = makeFraction{3}{10} لو(2س + 1) + ث.مقارنة بالخيارات:الخيار الصحيح هوmakeFraction{3}{10} لو (10س + 5) + ث.باستخدام خصائص اللوغاريتمات:لو(10س + 5) = لو(5(2س + 1)) = لو(5) + لو(2س + 1).إذن، الخيار الصحيح يصبحmakeFraction{3}{10} (لو(5) + لو(2س+1)) + ث = makeFraction{3}{10} لو(2س+1) + makeParentheses{makeFraction{3}{10}لو(5) + ث}.بما أنmakeFraction{3}{10}لو(5)هو ثابت، يمكن دمجه مع ثابت التكاملث، لذا فإن الخيار صحيح ومكافئ رياضياً للناتج الذي توصلنا إليه.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 4-7: تكامل الصورة 1/(أس+ب)، صفحة 163)
