1- makeLimit{ن → ∞}{makePower{(1 + makeFraction{1}{ن})}{ن}} = هـ شرح السؤال هذه إحدى النهايات الأساسية والمشهورة جداً. هل يمكنك تذكر علاقتها بالعدد النيبيري (هـ)؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه الصيغة هي التعريف الأساسي للعدد النيبيري (أو الثابت الطبيعي)هـ. وهي من النتائج القياسية التي يتم حفظها واستخدامها مباشرة في حساب النهايات.هذا الثابت أساسي في الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم، ويُعرف بأنه أساس اللوغاريتم الطبيعي، وقيمته التقريبية هي2.718. من المهم جداً حفظ هذه النهاية الأساسية والنهايات المشابهة لها.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 1-7: مفاهيم أساسية للثابت الأسي، صفحة 161)
2- makeDefIntegral{1}{0}{makePower{هـ}{(2 س − 1)}}{س} = makeFraction{1}{2} (هـ − makeFraction{1}{هـ}) شرح السؤال أولاً، أوجد التكامل غير المحدود للدالة الأسيةmakePower{هـ}{أس+ب}. ثم قم بالتعويض بحدود التكامل (العلوي ثم السفلي) وطرح الناتجين. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحل هذا التكامل المحدود، نتبع الخطوات التالية:إيجاد التكامل غير المحدود:القاعدة هيmakeIntegral{makePower{هـ}{(أ س + ب)}}{س} = makeFraction{1}{أ} makePower{هـ}{(أ س + ب)} + ث.بتطبيقها هنا، نجد أن:makeIntegral{makePower{هـ}{(2 س − 1)}}{س} = makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(2 س − 1)}.حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):makeParentheses{makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(2 س − 1)}}_{0}^{1}=makeParentheses{makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(2 × 1 − 1)}} − makeParentheses{makeFraction{1}{2} makePower{هـ}{(2 × 0 − 1)}}=makeFraction{1}{2} ه¹ − makeFraction{1}{2} ه⁻¹=makeFraction{1}{2} (هـ − makeFraction{1}{هـ})النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية هـ^س، صفحة 169)
3- makeIntegral{makeFraction{3س}{4(3س+1)}}{س}= شرح السؤال المقدار تحت التكامل يبدو معقداً. هل هناك حيلة جبرية بسيطة يمكن استخدامها لتبسيطه قبل محاولة التكامل؟ فكر في إضافة وطرح رقم معين في البسط. makeFraction{1}{4} لو (3س + 1) + ث makeFraction{3}{4} (3س + 1) + ث makeFraction{9س²}{4(3س+1)²} + ث makeFraction{3}{4} (3س + 1)² + ث الإجابة الصحيحة (makeFraction{1}{4} لو (3س + 1) + ث)ملاحظة هامة:يبدو أن هناك خطأ مطبعي شائع في هذا السؤال، حيث يُفترض أن يكون البسط 3 وليس 3س لتكون الإجابة (أ) صحيحة. سنحل السؤال كما هو مكتوب أولاً، ثم نوضح الحل المفترض.الحل الفعلي للسؤال المكتوب:إعادة كتابة البسط:3س = (3س + 1) − 1.تجزئة الكسر:makeIntegral{makeParentheses{makeFraction{3س + 1}{4(3س+1)} − makeFraction{1}{4(3س+1)}}}{س}التبسيط والتكامل:makeIntegral{makeParentheses{makeFraction{1}{4} − makeFraction{1}{4(3س+1)}}}{س}الناتج هوmakeFraction{1}{4}س − makeFraction{1}{12} لو(3س+1) + ث. هذا الناتج غير موجود في الخيارات.الحل على افتراض أن السؤال هوmakeIntegral{makeFraction{3}{4(3س+1)}}{س}:makeFraction{3}{4} makeIntegral{makeFraction{1}{3س+1}}{س} = makeFraction{3}{4} makeParentheses{makeFraction{1}{3} لو (3س+1)} + ث = makeFraction{1}{4} لو (3س+1) + ث.وهذا يتطابق مع الخيار الصحيح.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 4-7: تكامل الصورة 1/(أس+ب)، صفحة 163)
4- إذا كانص = لو makeParentheses{makeCuberoot{س³+1}}فإنmakeFraction{دص}{دس} = شرح السؤال قبل البدء بالاشتقاق، هل يمكنك استخدام إحدى خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الدالة؟ ماذا تفعل خاصية القوة في اللوغاريتمات؟ makeFraction{3 س}{makeCuberoot{makePower{(س³+1)}{1}}} makeFraction{3}{س³+1} makeFraction{1}{makeCuberoot{س³+1}} makeFraction{س²}{س³+1} الإجابة الصحيحة (makeFraction{س²}{س³+1})من الأفضل دائماً تبسيط الدالة اللوغاريتمية قبل الاشتقاق إن أمكن.استخدام خصائص اللوغاريتمات:لو(makePower{أ}{ن}) = ن لو (أ). نعيد كتابة الجذر التكعيبي على صورة أس:makePower{(س³+1)}{makeSmallFraction{1}{3}}إذن،ص = makeFraction{1}{3} لو (س³ + 1).الاشتقاق:الآن نشتق هذه الصيغة المبسطة.makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{1}{3} × makeParentheses{مشتقة لو (س³ + 1)}مشتقةلو(د(س))هيmakeFraction{د'(س)}{د(س)}.makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{1}{3} × makeFraction{3س²}{س³+1}التبسيط النهائي:makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{س²}{س³+1}.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
