الإجابة الصحيحة (صح)

الطريقة الأسهل هي تحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى الصورة الأسية أولاً.

بما أنلو ص = 2س(حيث "لو" تعني اللوغاريتم الطبيعي للأساس هـ)، فإن هذا يكافئ:

ص = makePower{هـ}{2س}

الآن نشتق هذه الدالة الأسية مرتين:

• المشتقة الأولى:makeFraction{دص}{دس} = 2 makePower{هـ}{2س}
• المشتقة الثانية:makeFraction{د²ص}{دس²} = 2 × (2 makePower{هـ}{2س}) = 4 makePower{هـ}{2س}

وبما أنص = makePower{هـ}{2س}، يمكننا التعويض في نتيجة المشتقة الثانية:

makeFraction{د²ص}{دس²} = 4ص

العبارة صحيحة.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)

الإجابة الصحيحة (صح)

لنقم باشتقاق الدالة مرتين:

• الدالة الأصلية:ص = makePower{هـ}{س} + makePower{هـ}{−س}
• المشتقة الأولى:makeFraction{دص}{دس} = makePower{هـ}{س} + (−1)makePower{هـ}{−س} = makePower{هـ}{س} − makePower{هـ}{−س}
• المشتقة الثانية:makeFraction{د²ص}{دس²} = makePower{هـ}{س} − (−1)makePower{هـ}{−س} = makePower{هـ}{س} + makePower{هـ}{−س}

نلاحظ أن المشتقة الثانية (makePower{هـ}{س} + makePower{هـ}{−س}) هي نفسها الدالة الأصلية (ص).

إذن،makeFraction{د²ص}{دس²} = ص.

بإعادة ترتيب المعادلة، نحصل علىmakeFraction{د²ص}{دس²} − ص = 0، وهي نفس العبارة المذكورة في السؤال.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)

الإجابة الصحيحة (صح)

لإيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين، نستخدم قاعدة الضرب:
(مشتقة الأول × الثاني) + (الأول × مشتقة الثاني).

1. تحديد الدالتين ومشتقاتهما:
   • الدالة الأولى: makePower{هـ}{س}، مشتقتها: makePower{هـ}{س}.
   • الدالة الثانية: ظا س، مشتقتها: makePower{قا}{2} س.
2. تطبيق قاعدة الضرب لإيجاد د'(س):
   د'(س) = (makePower{هـ}{س} × ظا س) + (makePower{هـ}{س} × makePower{قا}{2} س).
3. التعويض بـ س = 0:
   د'(0) = (makePower{هـ}{0} × ظا 0) + (makePower{هـ}{0} × makePower{قا}{2} 0)
   نعلم أن: makePower{هـ}{0} = 1، ظا 0 = 0، و قا 0 = 1.
   د'(0) = (1 × 0) + (1 × 1²)
   = 0 + 1 = 1.

الناتج هو 1، وهو ما يتوافق تماماً مع العبارة المذكورة في السؤال.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)

الإجابة الصحيحة (−ظا س makeSub{لو}{3} هـ)

لإيجاد مشتقة دالة لوغاريتمية أساسها عدد ما (وليس الأساس الطبيعي هـ)، نستخدم القاعدة التالية:

makeFraction{د}{دس} makeSub{لو}{أ} (د(س)) = makeFraction{د'(س)}{د(س)} × makeSub{لو}{أ} هـ

في هذه المسألة:

• الأساسأ = 3.
• الدالةد(س) = جتا س.
• مشتقة الدالةد'(س) = −جا س.

بالتعويض في القاعدة:

makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−جا س}{جتا س} × makeSub{لو}{3} هـ

= −ظا س makeSub{لو}{3} هـ

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 2-7: المعامل التفاضلي للدالة لو س، صفحة 160)