1- إذا كانأتكملبفإنmakePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} ب = −1. شرح السؤال ماذا يعني أن الزاويتين متكاملتان؟ ما العلاقة بينأوب؟ وكيف يؤثر ذلك على العلاقة بينجتا بوجتا أ؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ) الزاويتان المتكاملتان هما زاويتان مجموعهما180°. إذنأ + ب = 180°، ومنهاب = 180° − أ. من قواعد الزوايا المنتسبة، نعلم أنجتا (180° − أ) = −جتا أ.إذن،جتا ب = −جتا أ. بتربيع الطرفين، نحصل علىmakePower{جتا}{2} ب = (−جتا أ)² = makePower{جتا}{2} أ. الآن نعوض في المقدار المطلوب: makePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} ب = makePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} أ حسب متطابقة فيثاغورس الأساسية، فإنmakePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} أ = 1. النتيجة هي1وليست−1، لذا فالعبارة خاطئة. (الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2: تعريف الزوايا المركبة، صفحة 37)
2- إذا كانظا θ = ظتا θحيثθزاوية منفرجة فإنθ = 225°. شرح السؤال ما هي الزاوية المنفرجة؟ في أي ربع تقع؟ وكيف يؤثر ذلك على حل المعادلة؟ وماذا عن الزاوية225°، هل تحقق الشرط؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)تحليل المعادلة:ظا θ = ظتا θيمكن كتابتها كـظا θ = makeFraction{1}{ظا θ}، مما يؤدي إلىmakePower{ظا}{2} θ = 1. وهذا يعني أنظا θ = ±1.تحليل الشرط:"θ زاوية منفرجة" يعني أنθتقع في الربع الثاني (90° < θ < 180°).تحديد الحل الصحيح:في الربع الثاني، تكون قيمة دالة الظل (ظا) سالبة. إذن، الحل المطلوب يجب أن يحققظا θ = −1. الزاوية التي تحقق ذلك في الربع الثاني هيθ = 135°.التحقق من القيمة المقترحة:الزاوية225°تقع في الربع الثالث. بالرغم من أنها تحقق المعادلة (لأنظا 225° = 1وظتا 225° = 1)، إلا أنها **لا تحقق شرط** كونها زاوية منفرجة.بما أن الزاوية225°ليست منفرجة، فالعبارة خاطئة.(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 4-2: حل المعادلة المثلثية، صفحة 46)
3- القيمة الصغرى للمقدار5 جتا θ − 12 جا θهي13. شرح السؤال يمكن تحويل المقدارأ جتا θ + ب جا θإلى الصورةر جتا(θ − α). ما هي القيمة العظمى والقيمة الصغرى لدالة جيب التمام؟ وكيف يؤثر ذلك على قيمة المقدار؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد القيم العظمى والصغرى لمقدار على الصورةأ جتا θ + ب جا θ، نحوله إلى الصورةر جتا(θ − α)حيثر = makeSqrt{makePower{أ}{2} + makePower{ب}{2}}.في هذه الحالة،أ = 5وب = −12.ر = makeSqrt{makePower{5}{2} + makePower{(−12)}{2}} = makeSqrt{25 + 144} = makeSqrt{169} = 13إذن، يمكن كتابة المقدار على صورة13 جتا(θ − α).بما أن دالة جيب التمام تتراوح قيمتها بين−1و1، فإن:القيمة العظمىللمقدار هي13 × (1) = 13.القيمة الصغرىللمقدار هي13 × (−1) = −13.السؤال يدعي أن القيمة الصغرى هي13، وهذا غير صحيح. القيمة الصغرى هي−13.(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 3-2: المقدار أ جتا θ ± ب جا θ، صفحة 44)
4- إذا كانجا 2أ = makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}وكانتأزاوية حادة فإنظا أ = makeSmallFraction{1}{makeSqrt{5}}. شرح السؤال استخدم متطابقة ضعف الزاوية لدالة الجيب (جا 2أ) وارسم مثلثاً قائم الزاوية للزاوية2ألتجد قيمةجتا 2أ. بعد ذلك، استخدم متطابقات ضعف الزاوية لدالة الظل التي تربطظا أبـجا 2أوجتا 2أ. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحل هذه المسألة، نبدأ بإيجاد قيمةجتا 2أثم نستخدمها لإيجادظا أ.إيجاد جتا 2أ:من المعطىجا 2أ = makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}، نرسم مثلثاً قائم الزاوية للزاوية2أ، فيكون المقابل =makeSqrt{5}والوتر =3.المجاور =makeSqrt{makePower{3}{2} − makePower{(makeSqrt{5})}{2}} = makeSqrt{9 − 5} = makeSqrt{4} = 2.بما أنأحادة، فإن0 < 2أ < 180°. وبما أنجا 2أموجبة، فإن2أيمكن أن تكون في الربع الأول أو الثاني.الحالة 1 (2أ في الربع الأول):جتا 2أ = makeSmallFraction{2}{3}.الحالة 2 (2أ في الربع الثاني):جتا 2أ = makeSmallFraction{−2}{3}.إيجاد ظا أ:نستخدم المتطابقةظا أ = makeFraction{جا 2أ}{1 + جتا 2أ}.في الحالة 1:ظا أ = makeFraction{makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}}{1 + makeSmallFraction{2}{3}} = makeFraction{makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}}{makeSmallFraction{5}{3}} = makeFraction{makeSqrt{5}}{5} = makeFraction{1}{makeSqrt{5}}.في الحالة 2:ظا أ = makeFraction{makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}}{1 − makeSmallFraction{2}{3}} = makeFraction{makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}}{makeSmallFraction{1}{3}} = makeSqrt{5}.بما أن أحد الحلول الممكنة وهوmakeSmallFraction{1}{makeSqrt{5}}يطابق القيمة المذكورة في السؤال، فإن العبارة تعتبر صحيحة.(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف ومضاعفات الزوايا، صفحة 43)
