الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد ميل المماس، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد دالة الميل (المشتقة الأولى):
   الدالة هيص = س² + س.
   المشتقة هيmakeFraction{دص}{دس} = 2س + 1.
2. حساب الميل عند س = 1:
   نعوض بـس = 1في دالة الميل:
   الميل =2(1) + 1 = 3.

الميل الصحيح هو 3. العبارة في السؤال تدعي أن الميل يساوي 2، لذا فهي خاطئة.

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 5-3: ميل المنحنى، صفحة 66)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد المشتقة، نستخدم التفاضل الضمني للمعادلة بالنسبة إلىس:

makeFraction{د}{دس}(makePower{ص}{2}) + makeFraction{د}{دس}(3 س ص) = makeFraction{د}{دس}(10)

• اشتقاقmakePower{ص}{2}يعطي2ص makeFraction{دص}{دس}.
• اشتقاق3 س ص(باستخدام قاعدة الضرب) يعطي:3((1)(ص) + (س)(makeFraction{دص}{دس})) = 3ص + 3س makeFraction{دص}{دس}.
• اشتقاق10يعطي0.

تصبح المعادلة:2ص makeFraction{دص}{دس} + 3ص + 3س makeFraction{دص}{دس} = 0.

نعزل الحدود التي تحتوي علىmakeFraction{دص}{دس}:

makeFraction{دص}{دس} (2ص + 3س) = −3ص

makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−3ص}{2ص + 3س}

الآن نعوض بقيم النقطة(1 ، 2)أيس = 1وص = 2:

makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−3(2)}{2(2) + 3(1)} = makeFraction{−6}{4 + 3} = makeFraction{−6}{7}.

الناتجmakeSmallFraction{−6}{7}لا يساويmakeSmallFraction{−7}{6}، لذا العبارة خاطئة.

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)

الإجابة الصحيحة (صح)

نقوم باشتقاق معادلة القطع الناقص ضمنياً بالنسبة إلىس:

makeFraction{2س}{makePower{أ}{2}} + makeFraction{2ص}{makePower{ب}{2}} makeFraction{دص}{دس} = 0

نعيد ترتيب المعادلة لعزلmakeFraction{دص}{دس}:

makeFraction{2ص}{makePower{ب}{2}} makeFraction{دص}{دس} = −makeFraction{2س}{makePower{أ}{2}}

makeFraction{دص}{دس} = −makeFraction{2س}{makePower{أ}{2}} × makeFraction{makePower{ب}{2}}{2ص} = −makeFraction{makePower{ب}{2}س}{makePower{أ}{2}ص}

الآن، نعوض بقيم النقطة البارامتريةس = أ جتا هـوص = ب جا هـ:

makeFraction{دص}{دس} = −makeFraction{makePower{ب}{2}(أ جتا هـ)}{makePower{أ}{2}(ب جا هـ)} = −makeFraction{ب}{أ} (makeFraction{جتا هـ}{جا هـ})

وبما أنظتا هـ = makeFraction{جتا هـ}{جا هـ}، فإن الناتج هو−makeFraction{ب}{أ} ظتا هـ.

النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

1. إيجاد المشتقة:أولاً، نفك المعادلة لتسهيل الاشتقاق:ص = ب س − makePower{س}{3}.
   المشتقة الأولى (دالة الميل) هي:makeFraction{دص}{دس} = ب − 3makePower{س}{2}.
2. ربط الميل بالزاوية:ميل المماس يساوي ظل الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.
   الميل (م) =ظا(45°) = 1.
3. التعويض بالنقطة:نريد حساب الميل عند "نقطة الأصل"، أي عندس = 0.
   نعوض بـس = 0في معادلة الميل ونجعلها تساوي 1:
   1 = ب − 3(0)²
   1 = ب − 0
   إذن،ب = 1.

قيمةبهي1وليست−1، لذا العبارة خاطئة.

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 5-3: ميل المنحنى، صفحة 66)