1- إذا كانجتا 2ص − جا س + جا ص = 3، فإنmakeFraction{دص}{دس} = شرح السؤال هذه مسألة تفاضل ضمني. ستحتاج إلى اشتقاق كل حد بالنسبة لـ 'س'، مع استخدام قاعدة السلسلة عند اشتقاق الدوال التي تحتوي على 'ص'. makeFraction{جتا ص}{جتا س (1 − 2 جا ص)} makeFraction{جتا س}{جتا ص (1 − 4 جا ص)} - (2 جا 2ص - جتا س + جتا ص) ½ جا 2ص + جتا س الإجابة الصحيحة (makeFraction{جتا س}{جتا ص (1 − 4 جا ص)})باشتقاق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى س، نحصل على:−2جا(2ص) (makeFraction{دص}{دس}) − جتا(س) + جتا(ص) (makeFraction{دص}{دس}) = 0وعند محاولة عزل(makeFraction{دص}{دس})، يكون الناتج:(makeFraction{دص}{دس}) (جتا ص − 2جا 2ص) = جتا سباستخدام متطابقةجا 2ص = 2 جا ص جتا ص، يصبح المقام:جتا ص − 2(2 جا ص جتا ص) = جتا ص − 4 جا ص جتا ص = جتا ص (1 − 4 جا ص)إذن،makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{جتا س}{جتا ص (1 − 4 جا ص)}الناتج يتطابق مع الخيار (ب).(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
2- إذا كان2 ص³ − 3 س² + س³ ص³ = 1، فإنmakeFraction{دص}{دس} = شرح السؤال هذه دالة ضمنية أخرى. تذكر أن تشتق كل حد بالنسبة لـ 'س'. عند اشتقاق حد يحتوي على 'ص'، استخدم قاعدة السلسلة (اضرب في دص/دس). الحد الأخير(س³ص³)يتطلب استخدام قاعدة الضرب. 6 ص² − 6 س + 9 س² ص² makeFraction{6 س + ص³}{6 ص² + س³} makeFraction{س (2 + ص³)}{ص² (2 + س³)} makeFraction{س (2 − س ص³)}{ص² (2 + س³)} الإجابة الصحيحة (makeFraction{س (2 − س ص³)}{ص² (2 + س³)})نشتق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى س:makeFraction{د}{دس} (2ص³) − makeFraction{د}{دس} (3س²) + makeFraction{د}{دس} (س³ص³) = makeFraction{د}{دس} (1)6 ص² (makeFraction{دص}{دس}) − 6 س + makeParentheses{ (3س²)(ص³) + (س³)(3ص² (makeFraction{دص}{دس})) } = 0الآن، نجمع الحدود التي تحتوي علىmakeFraction{دص}{دس}في طرف واحد:(makeFraction{دص}{دس}) (6ص² + 3س³ص²) = 6 س − 3س²ص³makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{6 س − 3س²ص³}{6ص² + 3س³ص²}بأخذ العامل المشترك3سمن البسط و3ص²من المقام للتبسيط:makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{3س (2 − سص³)}{3ص² (2 + س³)} = makeFraction{س (2 − سص³)}{ص² (2 + س³)}(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
3- معادلة العمودي للمنحنىص = 2 س³ − 7 سعند النقطة التي عندهاس = 1هي شرح السؤال لإيجاد معادلة العمودي، تحتاج إلى ثلاثة أشياء: نقطة التماس، ميل المماس عند تلك النقطة، ثم ميل العمودي. كيف يرتبط ميل العمودي بميل المماس؟ 2 س − ص + 2 = 0 س − ص + 2 = 0 ص − س + 6 = 0 ص + س + 4 = 0 الإجابة الصحيحة (ص − س + 6 = 0)إيجاد نقطة التماس:عندس = 1،ص = 2(1)³ − 7(1) = −5. إذن النقطة هي (1 ، -5).إيجاد ميل المماس:نشتق الدالة.makeFraction{دص}{دس} = 6س² − 7.عندس = 1، ميل المماس =6(1)² − 7 = −1.إيجاد ميل العمودي:ميل العمودي =makeFraction{−1}{ميل المماس} = makeFraction{−1}{−1} = 1.كتابة معادلة العمودي:باستخدام الصيغةص − ص₁ = م(س − س₁).ص − (−5) = 1(س − 1)ص + 5 = س − 1بإعادة الترتيب لتطابق الخيارات:ص − س + 6 = 0.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 5-3: ميل المنحنى، صفحة 66)
4- إذا كانجتا 2ص − جا س + جا ص = 3، فإنmakeFraction{دص}{دس}= شرح السؤال هذه مسألة تفاضل ضمني. ستحتاج إلى اشتقاق كل حد بالنسبة لـ 'س'، مع استخدام قاعدة السلسلة عند اشتقاق الدوال التي تحتوي على 'ص'. makeFraction{جتا ص}{جتا س (1 − 2 جا ص)} makeFraction{جتا س}{جتا ص (1 − 4 جا ص)} −(2 جا 2ص − جتا س + جتا ص) makeSmallFraction{1}{2} جا 2ص + جتا س الإجابة الصحيحة (makeFraction{جتا س}{جتا ص (1 − 4 جا ص)})باشتقاق المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى س، نحصل على:−2جا(2ص) (makeFraction{دص}{دس}) − جتا(س) + جتا(ص) (makeFraction{دص}{دس}) = 0وعند محاولة عزل(makeFraction{دص}{دس})، يكون الناتج:(makeFraction{دص}{دس}) (جتا ص − 2جا 2ص) = جتا سباستخدام متطابقةجا 2ص = 2 جا ص جتا ص، يصبح المقام:جتا ص − 2(2 جا ص جتا ص) = جتا ص − 4 جا ص جتا ص = جتا ص (1 − 4 جا ص)إذن،makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{جتا س}{جتا ص (1 − 4 جا ص)}الناتج يتطابق مع الخيار (ب).(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
