1- إذا كانتmakePower{ص}{2} + 3 س ص = 10فإنmakeFraction{دص}{دس} = makeSmallFraction{−7}{6}عند النقطة(1 ، 2). شرح السؤال هذه دالة ضمنية. تذكر عند اشتقاقها أنصهي دالة فيس. لا تنسَ استخدام قاعدة تفاضل حاصل الضرب للحد3 س ص. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد المشتقة، نستخدم التفاضل الضمني للمعادلة بالنسبة إلىس:makeFraction{د}{دس}(makePower{ص}{2}) + makeFraction{د}{دس}(3 س ص) = makeFraction{د}{دس}(10)اشتقاقmakePower{ص}{2}يعطي2ص makeFraction{دص}{دس}.اشتقاق3 س ص(باستخدام قاعدة الضرب) يعطي:3((1)(ص) + (س)(makeFraction{دص}{دس})) = 3ص + 3س makeFraction{دص}{دس}.اشتقاق10يعطي0.تصبح المعادلة:2ص makeFraction{دص}{دس} + 3ص + 3س makeFraction{دص}{دس} = 0.نعزل الحدود التي تحتوي علىmakeFraction{دص}{دس}:makeFraction{دص}{دس} (2ص + 3س) = −3صmakeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−3ص}{2ص + 3س}الآن نعوض بقيم النقطة(1 ، 2)أيس = 1وص = 2:makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−3(2)}{2(2) + 3(1)} = makeFraction{−6}{4 + 3} = makeFraction{−6}{7}.الناتجmakeSmallFraction{−6}{7}لا يساويmakeSmallFraction{−7}{6}، لذا العبارة خاطئة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
2- إذا كانmakeFraction{makePower{س}{2}}{makePower{أ}{2}} + makeFraction{makePower{ص}{2}}{makePower{ب}{2}} = 1، حيث أ، ب ثابتان، فإنmakeFraction{دص}{دس}عند النقطة(أ جتا هـ ، ب جا هـ)هيmakeSmallFraction{−ب}{أ} ظتا هـ. شرح السؤال هذه معادلة قطع ناقص. يمكنك إيجاد المشتقة باستخدام التفاضل الضمني. اشتق كل حد بالنسبة لـ س، ثم أوجددص/دسوعوض بإحداثيات النقطة البارامترية. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)نقوم باشتقاق معادلة القطع الناقص ضمنياً بالنسبة إلىس:makeFraction{2س}{makePower{أ}{2}} + makeFraction{2ص}{makePower{ب}{2}} makeFraction{دص}{دس} = 0نعيد ترتيب المعادلة لعزلmakeFraction{دص}{دس}:makeFraction{2ص}{makePower{ب}{2}} makeFraction{دص}{دس} = −makeFraction{2س}{makePower{أ}{2}}makeFraction{دص}{دس} = −makeFraction{2س}{makePower{أ}{2}} × makeFraction{makePower{ب}{2}}{2ص} = −makeFraction{makePower{ب}{2}س}{makePower{أ}{2}ص}الآن، نعوض بقيم النقطة البارامتريةس = أ جتا هـوص = ب جا هـ:makeFraction{دص}{دس} = −makeFraction{makePower{ب}{2}(أ جتا هـ)}{makePower{أ}{2}(ب جا هـ)} = −makeFraction{ب}{أ} (makeFraction{جتا هـ}{جا هـ})وبما أنظتا هـ = makeFraction{جتا هـ}{جا هـ}، فإن الناتج هو−makeFraction{ب}{أ} ظتا هـ.النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)
3- إذا كان المماس للمنحنىص = س(ب − makePower{س}{2})عند نقطة الأصل يصنع زاوية قياسها 45° مع الاتجاه الموجب لمحور السينات فإن قيمةب = −1. شرح السؤال ميل المماس عند نقطة هو قيمة المشتقة الأولى عند تلك النقطة. ما علاقة زاوية ميل المماس بقيمته؟ (الميل = ظا الزاوية). أوجد المشتقة، ساوِها بـ "ظل 45 درجة"، وعوض بنقطة الأصل. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)إيجاد المشتقة:أولاً، نفك المعادلة لتسهيل الاشتقاق:ص = ب س − makePower{س}{3}.المشتقة الأولى (دالة الميل) هي:makeFraction{دص}{دس} = ب − 3makePower{س}{2}.ربط الميل بالزاوية:ميل المماس يساوي ظل الزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.الميل (م) =ظا(45°) = 1.التعويض بالنقطة:نريد حساب الميل عند "نقطة الأصل"، أي عندس = 0.نعوض بـس = 0في معادلة الميل ونجعلها تساوي 1:1 = ب − 3(0)²1 = ب − 0إذن،ب = 1.قيمةبهي1وليست−1، لذا العبارة خاطئة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 5-3: ميل المنحنى، صفحة 66)
4- إذا كانس ص = 1فإنmakeFraction{د²ص}{دس²} × makeFraction{د²س}{دص²} = 4عندماس ≠ 1، بحيثس ≠ 0،ص ≠ 0. شرح السؤال أوجد المشتقة الثانية لـصبالنسبة لـس. ثم أوجد المشتقة الثانية لـسبالنسبة لـص. اضرب الناتجين وقارن بالرقم 4. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحساب طرفي المعادلة، نشتق كل متغير بالنسبة للآخر مرتين.1. حسابmakeFraction{د²ص}{دس²}:ص = makeFraction{1}{س} = makePower{س}{−1}makeFraction{دص}{دس} = −makePower{س}{−2}makeFraction{د²ص}{دس²} = 2makePower{س}{−3} = makeFraction{2}{makePower{س}{3}}2. حسابmakeFraction{د²س}{دص²}:س = makeFraction{1}{ص} = makePower{ص}{−1}makeFraction{دس}{دص} = −makePower{ص}{−2}makeFraction{د²س}{دص²} = 2makePower{ص}{−3} = makeFraction{2}{makePower{ص}{3}}3. ضرب الناتجين:makeFraction{د²ص}{دس²} × makeFraction{د²س}{دص²} = makeFraction{2}{makePower{س}{3}} × makeFraction{2}{makePower{ص}{3}} = makeFraction{4}{makePower{(سص)}{3}}بما أن المعادلة الأصلية هيس ص = 1، نعوض بهذه القيمة:makeFraction{4}{makePower{(1)}{3}} = 4الطرف الأيسر من المعادلة يساوي 4، وهو ما يطابق الطرف الأيمن. إذن العبارة صحيحة.(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 1-3: المشتقات العليا للدالة، صفحة 55)
