1- تباين توزيع $t$ أصغر من الواحد. شرح السؤال توزيع $t$ هو أحد التوزيعات الاحتمالية الهامة. هل تتذكر خصائصه؟ ابحث في الكتاب عن صيغة حساب تباين توزيع $t$ وانظر إلى علاقته بدرجات الحرية ($v$). هل يمكن أن تكون قيمته أصغر من $1$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).تباين توزيع $t$ يُعطى بالصيغة: $$ \sigma^2 = \frac{v}{v-2} $$ وذلك بشرط أن تكون درجات الحرية $v > 2$.لتحليل هذه الصيغة:البسط ($v$) هو دائماً أكبر من المقام ($v-2$).عندما يكون البسط أكبر من المقام، فإن ناتج القسمة يكون دائماً أكبر من الواحد الصحيح.على سبيل المثال، إذا كانت $v=3$، فإن التباين $= \frac{3}{3-2} = 3$. وإذا كانت $v=10$، فإن التباين $= \frac{10}{10-2} = 1.25$. لذلك، تباين توزيع $t$ يكون دائماًأكبر من الواحد(عندما يكون معرفاً، أي $v > 2$).للمقارنة:ماذا عن تباين التوزيع الطبيعي المعياري ($Z$)؟ قارن بين تباين كل من توزيع $t$ وتوزيع $Z$. كيف يتغير شكل توزيع $t$ كلما زادت درجات الحرية ($v$)؟ وإلى أي توزيع يقترب؟(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 3-2: توزيعات احتمالية متصلة هامة، 2-2-3 توزيع t، صفحة 109)
2- إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً يتبع توزيع ذي الحدين، فإن تباين هذا التوزيع يساوي $np$. شرح السؤال توزيع ذي الحدين له معلمتان أساسيتان هما الوسط الحسابي والتباين. ما هي الصيغة الرياضية لكل منهما؟ قارن بين صيغة التباين وصيغة الوسط الحسابي. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).إذا كان المتغير العشوائي $X$ يتبع توزيع ذات الحدين بالمعلمتين $n$ (عدد المحاولات) و $p$ (احتمال النجاح)، فإن:الوسط الحسابي (القيمة المتوقعة):$\mu = np$التباين:$\sigma^2 = npq$ أو $\sigma^2 = np(1-p)$العبارة المذكورة في السؤال ($\text{التباين} = np$) تصف الوسط الحسابي وليس التباين. التباين الصحيح يجب أن يتضمن أيضاً احتمال الفشل $q$.ملاحظة هامة:بما أن $q = (1-p)$ وقيمة $p$ بين $0$ و $1$، فإن قيمة $q$ أيضاً بين $0$ و $1$. هذا يعني أن التباين ($npq$) هو دائماً أصغر من الوسط الحسابي ($np$) في توزيع ذات الحدين (طالما $q<1$).(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)
3- إذا كان المتغير العشوائي ($X$) يتبع توزيع بواسون بوسط حسابي ($2$) فإن التباين يساوي ($4$). شرح السؤال توزيع بواسون يتميز بخاصية فريدة تربط بين وسطه الحسابي وتباينه. ما هي هذه الخاصية؟ إذا عرفت الوسط، فماذا يجب أن يكون التباين؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).من أهم خصائص توزيع بواسون أن وسطه الحسابي (قيمته المتوقعة) يساوي تباينه. وكلاهما يساوي المعلمة $\lambda$.الوسط الحسابي: $\mu = \lambda$التباين: $\sigma^2 = \lambda$في السؤال، تم إعطاء أن الوسط الحسابي يساوي $2$، وهذا يعني أن $\mu = \lambda = 2$. بناءً على خاصية توزيع بواسون، يجب أن يكون التباين مساوياً للوسط الحسابي. إذن، التباين الصحيح هو $\sigma^2 = 2$. العبارة تقول أن التباين يساوي $4$، وهذا غير صحيح.للمقارنة:في توزيع ذات الحدين، هل الوسط الحسابي يساوي التباين؟ تذكر أن $\mu = np$ و $\sigma^2 = npq$. كيف تختلف العلاقة بين الوسط والتباين في توزيع بواسون عن توزيع ذات الحدين؟(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
4- في خط إنتاج صناعي معين كان معدل أن تنتج الآلة وحدات بها عيوب في اليوم $6$، فإن احتمال أن تنتج تلك الآلة $3$ وحدات على الأكثر بها عيوب في اليوم هو: شرح السؤال كلمة "معدل" في سياق عدد الأحداث خلال فترة زمنية (يوم) تشير إلى توزيع بواسون. "3 وحدات على الأكثر" تعني $P(X \le 3)$. كيف تحسب هذا الاحتمال التراكمي؟ $0.00248$ $0.1606$ $0.1512$ $0.08924$ الإجابة الصحيحة هي ($0.1512$).هذا الموقف يتبعتوزيع بواسونلأننا نتعامل مع معدل عدد أحداث (وحدات معيبة) خلال فترة زمنية محددة (يوم).المعلمة (المعدل): $\lambda = 6$المطلوب: احتمال أن يكون عدد العيوب "$3$ على الأكثر"، أي $P(X \le 3)$.$ P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) $نستخدم دالة كتلة الاحتمال لتوزيع بواسون: $f(x; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$$P(X=0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} \approx 0.00248$$P(X=1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} \approx 0.01487$$P(X=2) = \frac{e^{-6} 6^2}{2!} \approx 0.04462$$P(X=3) = \frac{e^{-6} 6^3}{3!} \approx 0.08924$الاحتمال المطلوب هو مجموع هذه القيم: $ P(X \le 3) \approx 0.00248 + 0.01487 + 0.04462 + 0.08924 \approx 0.15121 $هذه القيمة تتطابق مع الخيار (ج).تدريب:ما هو احتمال أن تنتج الآلة وحدة معيبة واحدة بالضبط؟(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-1-3: توزيع بواسون، صفحة 95)
