1- توزيع $t$ أقل تشتتاً من التوزيع الطبيعي. شرح السؤال تذكر العلاقة بين تباين توزيع $t$ وتباين التوزيع الطبيعي المعياري. أي منهما لديه تباين أكبر؟ وكيف يؤثر ذلك على "التشتت" أو عرض المنحنى؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).هذه العبارة غير صحيحة. العكس هو الصحيح، فتوزيع $t$ يعتبر **أكثر تشتتاً** من التوزيع الطبيعي المعياري.السبب يعود إلى التباين الخاص بكل توزيع:تباين التوزيع الطبيعي المعياري ($Z$):دائماً يساوي $1$.تباين توزيع $t$:يُعطى بالصيغة $\sigma^2 = \frac{v}{v-2}$ (حيث $v$ هي درجات الحرية و $v>2$). هذه القيمة دائماً **أكبر من $1$**.بما أن تباين توزيع $t$ أكبر من تباين التوزيع الطبيعي، فإن منحنى توزيع $t$ يكون أكثر انتشاراً وتشتتاً وله "ذيلان أثقل" من منحنى التوزيع الطبيعي. كلما زادت درجات الحرية ($v$)، اقترب تباين توزيع $t$ من الواحد، وبالتالي اقترب شكل منحناه من منحنى التوزيع الطبيعي.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-2-3: توزيع t، صفحة 109)
2- إذا كان المتغير العشوائي ($X$) يتبع توزيع بواسون بوسط حسابي ($1$) فإن تباينه يساوي ($0$). شرح السؤال ما هي الخاصية المميزة لتوزيع بواسون التي تربط بين وسطه الحسابي وتباينه؟ إذا عرفت هذه الخاصية، ستعرف الإجابة فوراً. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).من أهم خصائص توزيع بواسون أن وسطه الحسابي (قيمته المتوقعة) يساوي تباينه تماماً. وكلاهما يساوي المعلمة $\lambda$. $$ \mu = \sigma^2 = \lambda $$ في السؤال، تم إعطاء أن الوسط الحسابي يساوي $1$، وهذا يعني أن $\lambda = 1$.بناءً على خاصية توزيع بواسون، يجب أن يكون التباين مساوياً للوسط الحسابي.إذن، التباين الصحيح هو $\sigma^2 = 1$.العبارة تقول أن التباين يساوي $0$، وهذا غير صحيح.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
3- إذا اشترك $5$ طلبة في امتحان ما وكان احتمال النجاح $0.3$ فإن احتمال أن ينجح طالبان فقط في الامتحان يساوي $0.3087$. شرح السؤال هذا الموقف يصف تجربة ذات حدين. حدد قيم المعلمات $n, p, x$. ثم استخدم صيغة دالة كتلة الاحتمال لتوزيع ذات الحدين وقم بالحساب للتأكد من القيمة المعطاة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذا الموقف يتبع توزيع ذات الحدين.عدد المحاولات (الطلبة): $n = 5$.احتمال النجاح في المحاولة الواحدة: $p = 0.3$.احتمال الفشل: $q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7$.عدد النجاحات المطلوبة: $x = 2$.نستخدم دالة كتلة الاحتمال لتوزيع ذات الحدين: $$ P(X=x) = C_x^n p^x q^{n-x} $$ بالتعويض بالقيم: $$ P(X=2) = C_2^5 (0.3)^2 (0.7)^{5-2} $$ $$ P(X=2) = \left(\frac{5 \times 4}{2 \times 1}\right) \times (0.09) \times (0.7)^3 $$ $$ P(X=2) = 10 \times 0.09 \times 0.343 = 0.3087 $$ القيمة المحسوبة تتطابق مع القيمة المذكورة في السؤال، لذا فإن العبارة صحيحة.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 91)
4- توزيع بواسون: هو التوزيع الذي متوسطه يساوي تباينه. شرح السؤال هل تتذكر العلاقة بين معلمات توزيع بواسون؟ ما هي الصيغة الرياضية لكل من الوسط الحسابي والتباين في هذا التوزيع؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذه هي الخاصية الأكثر تمييزاً لتوزيع بواسون. فلكل متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون بمعلمة $\lambda$:الوسط الحسابي (القيمة المتوقعة) $\mu = \lambda$.التباين $\sigma^2 = \lambda$.لذلك، فإن الوسط الحسابي يساوي التباين دائماً في هذا التوزيع.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
