1- جدول توزيع $t$ يعطي المساحة التي على يمين القيمة المطلوبة. شرح السؤال كيف يتم بناء جداول توزيع $t$ عادةً؟ هل هي مصممة لإعطاء المساحة التراكمية من اليسار (مثل بعض جداول Z) أم أنها مصممة لإعطاء مساحة الذيل الأيمن؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).عادةً ما تكون جداول توزيع $t$ الإحصائية مصممة لتعطي المساحة الموجودة في **الذيل الأيمن** للمنحنى، والتي تقابل مستوى الدلالة $\alpha$.عندما تبحث في جدول $t$ عن قيمة معينة عند درجات حرية محددة، فإن القيمة الاحتمالية المقابلة في رأس الجدول تمثل $P(t > \text{value})$.للمقارنة:هل كل جداول التوزيع الطبيعي المعياري ($Z$) مصممة بنفس الطريقة؟ ابحث عن أشكال مختلفة لجداول $Z$ وكيف تختلف في عرض المساحات.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 2-3: توزيعات احتمالية مستمرة هامة، توزيع t، صفحة 109)
2- إذا كان المتغير العشوائي $X$ يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط حسابي قيمته ($45$) وتباين قدره ($16$) فإن احتمال أن تكون قيمة المتغير $X$ أكثر من ($49$) تساوي: (علماً بأن $P(0 \le z \le 1)=0.3413$ و $P(0 \le z \le 0.4)=0.1554$) شرح السؤال لحل هذا السؤال، عليك تحويل قيمة $X$ إلى الدرجة المعيارية $Z$. لا تنسَ أن تأخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري. بعد حساب $Z$، استخدم خصائص التوزيع الطبيعي لإيجاد مساحة الذيل الأيمن المطلوبة. $0.6826$ $0.3413$ $0.1587$ $0.8413$ الإجابة الصحيحة هي ($0.1587$).المعطيات:$\mu=45, \sigma^2=16 \implies \sigma=4$.المطلوب:$P(X > 49)$.تحويل إلى الدرجة المعيارية $Z$:$$ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{49 - 45}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ إذن، المطلوب هو $P(Z > 1)$.حساب الاحتمال:المطلوب هو حساب مساحة الذيل الأيمن بدءاً من $Z=1$. نحسبها بطرح المساحة بين $0$ و $1$ من مساحة النصف الأيمن الكامل للمنحنى ($0.5$). $$ P(Z > 1) = P(Z \ge 0) - P(0 \le Z < 1) $$ $$ P(Z > 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587 $$ المعلومة الإضافية ($P(0 \le z \le 0.4) = 0.1554$) غير ضرورية لحل هذه المسألة.للتفكير:باستخدام نفس المعطيات، ما هو احتمال أن تكون قيمة المتغير $X$ **أقل** من $49$?(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 2-3: توزيعات احتمالية مستمرة هامة، التوزيع الطبيعي المعياري، صفحة 103)
3- يعتمد توزيع ذات الحدين على معلمتين فقط هما: شرح السؤال ما هي القيم الأساسية التي تحتاجها لتعريف أي تجربة ذات حدين بالكامل؟ فكر في مكونات صيغة دالة كتلة الاحتمال. $\mu, \sigma^2$ $n, q$ $n, p$ $n, \mu$ الإجابة الصحيحة هي ($n, p$).يُعرَّف توزيع ذات الحدين بشكل كامل من خلال معلمتين أساسيتين:$n$:عدد المحاولات المستقلة في التجربة.$p$:احتمال النجاح في المحاولة الواحدة.بمجرد معرفة هاتين المعلمتين، يمكننا حساب كل شيء آخر يتعلق بالتوزيع، مثل احتمال الفشل $q = 1-p$, والوسط الحسابي $\mu = np$, والتباين $\sigma^2 = npq$.للمقارنة:على كم معلمة يعتمد توزيع بواسون؟ وما هي؟(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: توزيعات احتمالية متقطعة هامة، توزيع ذات الحدين، صفحة 89)
4- إذا كان متوسط عدد المترددين على نادي للفروسية $3$ أشخاص في الدقيقة الواحدة فإن احتمال عدم تردد أي شخص في الدقيقة القادمة يساوي: شرح السؤال "متوسط عدد" الأحداث في فترة زمنية يشير إلى توزيع بواسون. حدد قيمة المعلمة $\lambda$. ثم استخدم صيغة بواسون لحساب الاحتمال عند $X=0$. $e^{-1}$ $e^{-2}$ $e^{-3}$ $e^{-4}$ الإجابة الصحيحة هي ($e^{-3}$).هذا الموقف يصف توزيع بواسون، لأننا نتعامل مع متوسط عدد أحداث (مترددين) في فترة زمنية ثابتة (دقيقة).المعلمة (المتوسط): $\lambda = 3$.المطلوب: احتمال عدم تردد أي شخص، أي $P(X=0)$.نستخدم دالة كتلة الاحتمال لتوزيع بواسون: $$ P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} $$ نعوض بـ $x=0$ و $\lambda=3$: $$ P(X=0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} $$ بما أن $3^0 = 1$ و $0! = 1$، فإن الصيغة تصبح: $$ P(X=0) = e^{-3} $$(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، الدرس 1-3: توزيعات احتمالية متقطعة هامة، توزيع بواسون، صفحة 95)
