1- التباين لتوزيع ذات الحدين هو $\mu q$. شرح السؤال تذكر صيغة كل من التباين ($\sigma^2$) والوسط الحسابي ($\mu$) لتوزيع ذات الحدين. هل يمكنك التعويض بإحدى الصيغتين في الأخرى للوصول إلى الصيغة المذكورة في السؤال؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذه العبارة تقدم طريقة أخرى صحيحة لكتابة صيغة تباين توزيع ذات الحدين.نعلم أن صيغة التباين هي: $\sigma^2 = npq$.ونعلم أن صيغة الوسط الحسابي هي: $\mu = np$.إذا قمنا بالتعويض عن ($np$) في صيغة التباين بقيمتها ($\mu$), فإن الصيغة تصبح: $$ \sigma^2 = \mu q $$ وهي نفس الصيغة المذكورة في السؤال، لذلك فالعبارة صحيحة.مفهوم:هذا يوضح العلاقة المباشرة بين مقاييس النزعة المركزية (المتوسط) ومقاييس التشتت (التباين) في توزيع ذات الحدين. يمكن دائماً الحصول على التباين بضرب المتوسط في احتمال الفشل.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 1-1-3: توزيع ذات الحدين، صفحة 90)
2- منحنى توزيع $t$ غير متماثل. شرح السؤال كيف يبدو شكل منحنى توزيع $t$؟ هل هو ملتف لليمين أو لليسار؟ أم أنه يشبه توزيعاً آخر متماثلاً تعرفه جيداً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).منحنى توزيع $t$متماثلحول الصفر، تماماً مثل منحنى التوزيع الطبيعي المعياري ($Z$).الاختلاف الرئيسي ليس في التماثل، بل في "ثقل الذيلين". منحنى توزيع $t$ يكون أكثر انتشاراً وتشتتاً (أي أن تباينه أكبر)، مما يعني أن لديه ذيلين أثقل وأكثر سماكة مقارنة بالتوزيع الطبيعي. هذا يعكس عدم اليقين الإضافي الناتج عن تقدير تباين المجتمع من العينة.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-2-3: توزيع t، صفحة 109)
3- إذا كان الانحراف المعياري لعدد الحوادث المرورية التي تقع على أحد الطرقات هو $2$ في الأسبوع فإن احتمال عدم وقوع أي حادث خلال أسبوع يساوي: شرح السؤال "عدد الحوادث" في فترة زمنية يتبع توزيع بواسون. استخدم العلاقة بين الانحراف المعياري والتباين والوسط الحسابي في توزيع بواسون لإيجاد قيمة المعلمة $\lambda$. ثم احسب $P(X=0)$. $e^{-4}$ $2e^{-2}$ $e^{-2}$ $e^{-3}$ الإجابة الصحيحة هي ($e^{-4}$).تحديد نوع التوزيع:عدد الحوادث في فترة زمنية يتبع توزيع بواسون.إيجاد المعلمة $\lambda$:في توزيع بواسون، التباين يساوي الوسط الحسابي ($\sigma^2 = \mu = \lambda$).والانحراف المعياري $\sigma = \sqrt{\lambda}$.لدينا $\sigma = 2$. إذن، $\sqrt{\lambda} = 2$. بتربيع الطرفين، نحصل على $\lambda = 4$.حساب الاحتمال المطلوب:المطلوب هو احتمال عدم وقوع أي حادث، أي $P(X=0)$. $$ P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = \frac{e^{-4} \times 1}{1} = e^{-4} $$للتوسع:إذا كان متوسط عدد الحوادث هو $4$ في الأسبوع، فما هو متوسط عدد الحوادث في اليوم الواحد؟ (افترض أن الأسبوع $7$ أيام). وهل يمكنك حساب احتمال عدم وقوع أي حادث في يوم واحد؟(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-1-3: توزيع بواسون، صفحة 96)
4- إذا علمت أن درجات مجموعة من الطلبة تتبع التوزيع الطبيعي بوسط $60$ وتباين $16$ فإذا اخترنا طالباً عشوائياً فإن احتمال أن تتراوح درجته بين ($50$ و $56$) يساوي: (علماً بأن $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ و $P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938$) شرح السؤال هنا نتعامل مع فرد واحد (توزيع المجتمع الأصلي). حوّل حدي الفترة ($50$ و $56$) إلى قيم $Z$ معيارية. ثم أوجد المساحة المطلوبة بين قيمتي $Z$. $0.0062$ $0.8351$ $0.1525$ $0.6816$ الإجابة الصحيحة هي ($0.1525$).المعطيات:$\mu=60, \sigma^2=16 \implies \sigma=4$.المطلوب:$P(50 < X < 56)$.تحويل حدي الفترة إلى قيم $Z$:$Z_1 (\text{at } X=50) = \frac{50 - 60}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.$Z_2 (\text{at } X=56) = \frac{56 - 60}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.حساب الاحتمال:المطلوب هو $P(-2.5 < Z < -1)$.يمكن حساب هذه المساحة بطرح المساحة من الصفر إلى $-1$ من المساحة من الصفر إلى $-2.5$.بسبب تماثل المنحنى:$P(-2.5 < Z < -1) = P(1 < Z < 2.5)$$= P(0 < Z < 2.5) - P(0 < Z < 1)$$= 0.4938 - 0.3413 = 0.1525$.للتوسع:ارسم منحنى التوزيع الطبيعي المعياري وظلل عليه المساحة التي تمثل $P(-2.5 < Z < -1)$ لتتأكد من فهمك للمنطقة المطلوبة.(الفصل الثالث: توزيعات احتمالية هامة، 2-2-3: التوزيع الطبيعي المعياري، صفحة 104)
