1- توزيع $t$ تباينه أكبر من الواحد الصحيح. شرح السؤال تذكر صيغة تباين توزيع $t$ وهي $\frac{v}{v-2}$. هل يمكن أن يكون ناتج هذا الكسر أصغر من أو يساوي الواحد عندما تكون درجات الحرية $v>2$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).تباين توزيع $t$ يُعطى بالصيغة $\sigma^2 = \frac{v}{v-2}$، حيث $v$ هي درجات الحرية ويجب أن تكون $v > 2$.في هذا الكسر، البسط ($v$) هو دائماً أكبر من المقام ($v-2$). عندما يكون البسط أكبر من المقام، فإن ناتج القسمة يكون دائماً **أكبر من الواحد الصحيح**.سؤال:إلى أي قيمة يقترب تباين توزيع $t$ كلما زادت درجات الحرية ($v$) بشكل كبير جداً؟(الفصل الثالث - توزيعات احتمالية هامة، الدرس 3-2: توزيعات احتمالية مستمرة هامة، الفقرة 4-2-3: توزيع (t))
2- إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً يتبع توزيع بواسون بتباين $9$ فإن الانحراف المعياري يساوي $9$. شرح السؤال ما هي العلاقة بين التباين والانحراف المعياري لأي توزيع؟ هل هما متساويان؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).العلاقة العامة بين الانحراف المعياري ($\sigma$) والتباين ($\sigma^2$) هي أن الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين. $$ \sigma = \sqrt{\sigma^2} $$ في هذه المسألة، التباين $\sigma^2 = 9$.إذن، الانحراف المعياري الصحيح هو: $$ \sigma = \sqrt{9} = 3 $$ العبارة تقول أن الانحراف المعياري يساوي $9$, وهذا غير صحيح.سؤال:ما هي قيمة الوسط الحسابي ($\mu$) لهذا التوزيع؟(الفصل الثالث - توزيعات احتمالية هامة، الدرس 3-1: توزيعات احتمالية متقطعة هامة، الفقرة 2-1-3: توزيع بواسون)
3- إذا علمت إن احتمال نجاح عملية زرع صمام قلب هو $90\%$ فإذا أجريت $4$ عمليات جراحية فإن احتمال نجاح عمليتين فقط تساوي $0.0486$. شرح السؤال هذا الموقف يصف تجربة ذات حدين. حدد قيم المعلمات $n, p, x$. ثم استخدم صيغة دالة كتلة الاحتمال لتوزيع ذات الحدين وقم بالحساب للتأكد من القيمة المعطاة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذا الموقف يتبع توزيع ذات الحدين.عدد المحاولات (العمليات): $n = 4$.احتمال النجاح في المحاولة الواحدة: $p = 0.90$.احتمال الفشل: $q = 1 - p = 1 - 0.90 = 0.10$.عدد النجاحات المطلوبة: $x = 2$.نستخدم دالة كتلة الاحتمال لتوزيع ذات الحدين: $$ P(X=x) = C_x^n p^x q^{n-x} $$ بالتعويض بالقيم: $$ P(X=2) = C_2^4 (0.90)^2 (0.10)^{4-2} $$ $$ P(X=2) = \left(\frac{4 \times 3}{2 \times 1}\right) \times (0.81) \times (0.10)^2 $$ $$ P(X=2) = 6 \times 0.81 \times 0.01 = 0.0486 $$ القيمة المحسوبة تتطابق مع القيمة المذكورة في السؤال.(الفصل الثالث - توزيعات احتمالية هامة، الدرس 3-1: توزيعات احتمالية متقطعة هامة، الفقرة 1-1-3: توزيع ذات الحدين)
4- إذا كان $P(t_{(15)} > 1.753) = 0.05$ فإن $P(t_{(15)} < -1.753)$ تساوي: شرح السؤال استخدم خاصية التماثل لمنحنى توزيع $t$ حول الصفر. كيف ترتبط المساحة في الذيل الأيسر بالمساحة في الذيل الأيمن؟ $0.05$ $0.025$ $0.10$ $0.90$ الإجابة الصحيحة هي ($0.05$).منحنى توزيع $t$ متماثل تماماً حول الصفر. هذه الخاصية تعني أن المساحة في الذيل الأيسر عند قيمة سالبة معينة تساوي تماماً المساحة في الذيل الأيمن عند نفس القيمة الموجبة.رياضياً: $$ P(t < -c) = P(t > c) $$ في هذه المسألة، $c = 1.753$.بما أن $P(t_{(15)} > 1.753) = 0.05$, فإن: $$ P(t_{(15)} < -1.753) = 0.05 $$سؤال:باستخدام نفس المعطيات، ما هي قيمة $P(t_{(15)} < 1.753)$؟(الفصل الثالث - توزيعات احتمالية هامة، الدرس 3-2: توزيعات احتمالية مستمرة هامة، الفقرة 4-2-3: توزيع (t))
