1- تستخدم نظرية النهاية المركزية إذا كانت المعاينة من مجتمع طبيعي تباينه مجهول وحجم العينة صغير. شرح السؤال نظرية النهاية المركزية (CLT) هي نظرية قوية جداً، لكن لها شروطها. الشرط الأساسي لتطبيقها يتعلق بحجم العينة. ما هو هذا الشرط؟ وما هو التوزيع الذي نستخدمه في الحالة الموصوفة في السؤال؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).الحالة الموصوفة في السؤال (مجتمع طبيعي، تباين مجهول، حجم عينة صغير $n < 30$) هي الحالة التي نستخدم فيهاتوزيع $t$.أمانظرية النهاية المركزية، فتستخدم بشكل أساسي عندما يكونحجم العينة كبيراً ($n \ge 30$)، خاصة إذا كان المجتمع الأصلي غير طبيعي أو توزيعه غير معروف. تسمح لنا النظرية بافتراض أن توزيع المعاينة للمتوسط يقترب من التوزيع الطبيعي بغض النظر عن شكل توزيع المجتمع.للمقارنة:لخص الحالات الأربع لتوزيع معاينة الوسط الحسابي: (1) مجتمع طبيعي/تباين معلوم، (2) مجتمع طبيعي/تباين مجهول/عينة صغيرة، (3) مجتمع طبيعي/تباين مجهول/عينة كبيرة، (4) مجتمع غير طبيعي/عينة كبيرة.(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، 2-5-4: نظرية النهاية المركزية، صفحة 121)
2- إذا تم اختيار عينة عشوائية حجمها $4$ مع الإرجاع من مجتمع تباينه $\sigma^2$ فكان تباين المعاينة للوسط الحسابي للعينة $\sigma^2_{\bar{x}}=2.25$ فإن تباين المجتمع $\sigma^2$ يساوي $9$. شرح السؤال اكتب صيغة تباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي في حالة السحب مع الإرجاع. لديك قيمة $\sigma^2_{\bar{x}}$ وقيمة $n$. المجهول الوحيد هو $\sigma^2$. قم بحل المعادلة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).صيغة تباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي في حالة السحب مع الإرجاع (أو من مجتمع لا نهائي) هي: $$ \sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sigma^2}{n} $$ لدينا المعطيات: $\sigma^2_{\bar{x}} = 2.25$ و $n=4$. والمطلوب هو $\sigma^2$.نعوض في الصيغة: $$ 2.25 = \frac{\sigma^2}{4} $$ لإيجاد $\sigma^2$، نضرب الطرفين في $4$: $$ \sigma^2 = 2.25 \times 4 = 9 $$ العبارة صحيحة.سؤال:ماذا لو كان السحب "بدون إرجاع" من مجتمع حجمه $N=20$؟ هل ستتغير الإجابة؟ وكيف؟(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، 1-4-4: تباين توزيع المعاينة للوسط الحسابي (السحب مع الإرجاع)، صفحة 118)
3- إذا كانت أوزان $100$ مريض تتبع التوزيع الطبيعي بوسط $62$ كجم وانحراف معياري $3$ كجم اختيرت عينة عشوائية حجمها $9$ مرضى مع الإرجاع فإن احتمال أن يزيد الوسط الحسابي لأوزان هذه العينة عن $60$ كجم يساوي: (علماً بأن $P(0 \le Z \le 2) = 0.4772$) شرح السؤال بما أن المجتمع الأصلي طبيعي، فإن توزيع المعاينة للمتوسط سيكون طبيعياً أيضاً. احسب أولاً الخطأ المعياري. ثم حوّل قيمة وسط العينة $\bar{X}=60$ إلى الدرجة المعيارية $Z$. أخيراً، أوجد المساحة المطلوبة. $0.9544$ $0.0228$ $0.4772$ $0.9772$ الإجابة الصحيحة هي ($0.9772$).المعطيات:$\mu=62, \sigma=3, n=9$.المطلوب:$P(\bar{X} > 60)$.حساب الخطأ المعياري ($\sigma_{\bar{x}}$):$$ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1 $$تحويل $\bar{X}$ إلى $Z$:$$ Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{60 - 62}{1} = -2 $$ إذن المطلوب هو $P(Z > -2)$.حساب الاحتمال:المساحة على يمين $-2$ هي مجموع المساحة من $-2$ إلى $0$ والمساحة على يمين $0$.$P(Z > -2) = P(-2 < Z < 0) + P(Z > 0)$.بسبب التماثل، $P(-2 < Z < 0) = P(0 < Z < 2) = 0.4772$.إذن، $P(Z > -2) = 0.4772 + 0.5 = 0.9772$.للتفكير الناقد:المعلومة "أوزان 100 مريض" غير ضرورية للحل. لماذا؟ ومتى كان من الممكن أن تكون هذه المعلومة مهمة؟ (تلميح: فكر في معامل التصحيح).(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، 1-5-4: توزيع المعاينة للوسط الحسابي، صفحة 120)
4- مجتمع حجمه كبير يتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي $40$ وتباين $16$. اختيرت عينة عشوائية حجمها $25$ (مع عدم الإرجاع). فإن احتمال أن يتراوح الوسط الحسابي للعينة بين $38$ و $42$ يساوي: (علماً بأن $P(0 \le Z \le 2.5) = 0.4938$) شرح السؤال بما أن المجتمع طبيعي، فتوزيع المعاينة طبيعي. احسب الخطأ المعياري، ثم حوّل حدي الفترة ($38$ و $42$) إلى قيم $Z$ معيارية. أوجد المساحة المطلوبة بين قيمتي $Z$. $0.0062$ $0.4938$ $0.5062$ $0.9876$ الإجابة الصحيحة هي ($0.9876$).المعطيات:$\mu=40, \sigma^2=16 \implies \sigma=4, n=25$.المطلوب:$P(38 < \bar{X} < 42)$.الخطأ المعياري:بما أن المجتمع كبير، نهمل معامل التصحيح. $$ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0.8 $$تحويل حدي الفترة إلى قيم $Z$:$Z_1 (\text{at } \bar{X}=38) = \frac{38 - 40}{0.8} = \frac{-2}{0.8} = -2.5$.$Z_2 (\text{at } \bar{X}=42) = \frac{42 - 40}{0.8} = \frac{2}{0.8} = 2.5$.حساب الاحتمال:المطلوب هو $P(-2.5 < Z < 2.5)$.بسبب التماثل، هذه المساحة تساوي $2 \times P(0 \le Z < 2.5)$.$P(-2.5 < Z < 2.5) = 2 \times 0.4938 = 0.9876$.للتفكير:لماذا تم إهمال معامل التصحيح على الرغم من أن السحب "بدون إرجاع"؟ وماذا لو كان حجم المجتمع $N=100$ فقط؟ هل ستتغير الإجابة؟(الفصل الرابع: توزيعات المعاينة، 1-5-4: توزيع المعاينة للوسط الحسابي، صفحة 120)
