1- المساحة الكلية المحصورة بين المنحنى الذي يمثل دالة كثافة الاحتمال ومحور السينات يساوي $1$. شرح السؤال هذا أحد الشروط الأساسية لدوال الكثافة الاحتمالية للمتغيرات العشوائية المستمرة. ماذا يمثل هذا الشرط، ولماذا يجب أن تكون المساحة الكلية مساوية للواحد تحديداً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذه العبارة تمثل أحد الشرطين الأساسيين اللذين يجب أن تحققهما أي دالة $f(x)$ لكي تكون دالة كثافة احتمال صالحة لمتغير عشوائي مستمر. الشرطان هما:$f(x) \ge 0$ لجميع قيم $x$. (الدالة لا يمكن أن تكون سالبة، لأن الاحتمال لا يكون سالباً).المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي $1$. ($\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$).الشرط الثاني يعني أن احتمال وقوع أي نتيجة ممكنة ضمن فراغ العينة بأكمله (الحدث المؤكد) هو $100\%$ أو $1$. فالمساحة الكلية تمثل احتمال الحدث المؤكد.سؤال:ماذا يمثل الاحتمال $P(a < X < b)$ بيانياً في دالة الكثافة الاحتمالية؟(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 67)
2- الجذر التربيعي الموجب للوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي هو القيمة المتوقعة. شرح السؤال اقرأ التعريف ببطء. "الوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي" هو تعريف لمقياس تشتت معين. ثم أخذ "الجذر التربيعي الموجب" له يعطينا مقياس تشتت آخر. هل هذا هو تعريف "القيمة المتوقعة"؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).العبارة تخلط بين تعريفين مختلفين:التباين ($\sigma^2$):هو "الوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي".الانحراف المعياري ($\sigma$):هو "الجذر التربيعي الموجب للتباين". أي هو "الجذر التربيعي الموجب للوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي".لذلك، العبارة المذكورة في السؤال هي التعريف الدقيقللانحراف المعياري.أماالقيمة المتوقعة ($E(X)$)، فهي مصطلح آخر للوسط الحسابي ($\mu$) للمتغير العشوائي.لتصحيح العبارة:العبارة الصحيحة هي: "الجذر التربيعي الموجب للوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي هوالانحراف المعياري".(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 4-3-2: الانحراف المعياري، صفحة 82)
3- يُعرف المتغير العشوائي بأنه دالة نطاقها فراغ العينة ومداها فئة الأعداد: شرح السؤال المتغير العشوائي يربط كل نتيجة من نتائج التجربة العشوائية بقيمة عددية. ما هي مجموعة الأعداد التي يمكن أن تنتمي إليها هذه القيم؟ هل هي فقط أعداد صحيحة؟ أم يمكن أن تكون كسوراً أو أعداداً عشرية؟ القياسية الصحيحة الطبيعية الحقيقية الإجابة الصحيحة هي (الحقيقية).المتغير العشوائيهو دالة تربط كل عنصر في فراغ العينة ($S$) بعدد حقيقي.النطاق (Domain):هو مجموعة كل النتائج الممكنة، أي فراغ العينة $S$.المدى (Range):هو مجموعة القيم العددية التي يمكن للمتغير أن يأخذها.هذه القيم يمكن أن تكون:أعداداً صحيحة (مثل عدد الأوجه عند رمي عملة، وهو متغير متقطع).أعداداً عشرية أو كسور (مثل طول شخص أو وزنه، وهو متغير مستمر).مجموعةالأعداد الحقيقيةهي المجموعة الأشمل التي تضم كل هذه الأنواع من الأعداد (الصحيحة، الطبيعية، النسبية، وغير النسبية)، لذا هي الخيار الصحيح الذي يصف مدى المتغير العشوائي بشكل عام.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 1-2: المتغير العشوائي، صفحة 58)
4- إذا كان $X$ متغيراً عشوائياً متقطعاً توزيعه الاحتمالي كما بالجدول التالي: $X$ $0$ $2$ $3$ $4$ $f(x)$ $0.1$ $0.4$ $C$ $0.2$ فإن قيمة $C$ تساوي: شرح السؤال ما هو الشرط الأساسي الذي يجب أن يحققه أي توزيع احتمالي متقطع؟ فكر في مجموع كل الاحتمالات ($\sum f(x)$). استخدم هذا الشرط لتكوين معادلة وإيجاد قيمة المجهول $C$. $0.3$ $0.4$ $0.1$ $0.2$ الإجابة الصحيحة هي ($0.3$).من الشروط الأساسية لأي توزيع احتمالي متقطع هو أن مجموع كل الاحتمالات الممكنة يجب أن يساوي الواحد الصحيح. $$ \sum f(x) = 1 $$ بتطبيق هذا الشرط على الجدول المعطى: $ f(0) + f(2) + f(3) + f(4) = 1 $$ 0.1 + 0.4 + C + 0.2 = 1 $بجمع القيم المعلومة: $ 0.7 + C = 1 $لإيجاد قيمة $C$، نطرح $0.7$ من الطرفين: $ C = 1 - 0.7 = 0.3 $لذا، القيمة المجهولة $C$ يجب أن تكون $0.3$.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 1-2-2: التوزيع الاحتمالي المتقطع، صفحة 64)
