1- المساحة الكلية المحصورة بين المنحنى الذي يمثل دالة كثافة الاحتمال ومحور السينات تساوي الواحد الصحيح. شرح السؤال هذا أحد الشرطين الأساسيين لدوال الكثافة الاحتمالية للمتغيرات العشوائية المستمرة. ماذا يمثل هذا الشرط، ولماذا يجب أن تكون المساحة الكلية مساوية للواحد تحديداً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذه العبارة تمثل أحد الشرطين الأساسيين اللذين يجب أن تحققهما أي دالة $f(x)$ لكي تكون دالة كثافة احتمال صالحة لمتغير عشوائي مستمر. الشرطان هما:$f(x) \ge 0$ لجميع قيم $x$.المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي $1$.الشرط الثاني يعني أن احتمال وقوع أي نتيجة ممكنة ضمن فراغ العينة بأكمله (الحدث المؤكد) هو $100\%$ أو $1$. فالمساحة الكلية تمثل احتمال الحدث المؤكد.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 67)
2- القيم التي يأخذها المتغير العشوائي المتقطع تكون قابلة للعد. شرح السؤال فكر في تعريف المتغير العشوائي المتقطع. هل قيمه متصلة أم منفصلة؟ وهل يمكننا عدها (حتى لو كانت لا نهائية)؟ قارن ذلك بالمتغير المستمر. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذا هو التعريف الأساسي للمتغير العشوائي المتقطع (أو المنفصل). قيمه تكون عبارة عن نقاط منفصلة على خط الأعداد (مثل $0, 1, 2, 3, ...$)، ويمكن عدها.على عكس المتغير العشوائي المستمر، الذي يمكن أن يأخذ أي قيمة ضمن فترة معينة، وبالتالي فإن قيمه غير قابلة للعد.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 1-1-2: المتغيرات العشوائية المتقطعة (المنفصلة)، صفحة 59)
3- إذا كان X متغيراً عشوائياً له التوزيع الاحتمالي: $X$ $0$ $1$ $2$ $f(x)$ $0.2$ $0.5$ $0.3$ فإن القيمة المتوقعة تساوي $1.1$. شرح السؤال "القيمة المتوقعة" هي تسمية أخرى للمتوسط الحسابي. استخدم صيغة حساب المتوسط الحسابي لتوزيع احتمالي متقطع، $\mu = \sum [x \cdot f(x)]$, وتحقق من الناتج. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).القيمة المتوقعة ($E(X)$) هي نفسها المتوسط الحسابي ($\mu$) للمتغير العشوائي. نحسبها بضرب كل قيمة للمتغير في احتمالها ثم نجمع النواتج. $$ \mu = E(X) = \sum x \cdot f(x) $$ من الجدول المعطى: $$ \mu = (0 \times 0.2) + (1 \times 0.5) + (2 \times 0.3) $$ $$ \mu = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1 $$ القيمة المحسوبة ($1.1$) تتطابق مع القيمة المذكورة في السؤال، لذا فالعبارة صحيحة.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-3-2: القيمة المتوقعة، صفحة 79)
4- إذا كان الشكل المرسوم مستطيل يمثل دالة الكثافة الاحتمالية $f(x)$ للمتغير العشوائي $X$. فإن قيمة $b$ = شرح السؤال الشكل مستطيل، وهذا يعني أننا نتعامل مع توزيع احتمالي منتظم. ما هو الشرط الأساسي الذي يجب أن تحققه أي دالة كثافة احتمالية؟ استخدم هذا الشرط مع صيغة مساحة المستطيل لإيجاد قيمة المجهول $b$. $2$ $1$ $1.5$ $0.5$ الإجابة الصحيحة هي ($0.5$).بما أن الشكل مستطيل، فإننا نتعامل مع توزيع احتمالي منتظم.الشرط الأساسي لأي دالة كثافة احتمالية هو أن المساحة الكلية تحت المنحنى يجب أن تساوي $1$.في هذه الحالة، المساحة هي مساحة المستطيل، والتي تساوي (الطول × العرض).طول المستطيل:هو الفرق على المحور السيني، أي $3 - 1 = 2$.عرض (ارتفاع) المستطيل:هو قيمة $f(x)$، وهي القيمة المجهولة $b$.إذن، المعادلة هي: $$ \text{Area} = \text{Length} \times \text{Width} $$ $$ 1 = 2 \times b $$ لإيجاد $b$، نقسم الطرفين على $2$: $$ b = \frac{1}{2} = 0.5 $$(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، مثال (7-2)، صفحة 68)
