1- إذا كان لدينا التوزيع الاحتمالي المتقطع التالي: $X$ $0$ $1$ $2$ $3$ $f(x)$ $0.2$ $0.3$ $0.4$ $C$ فإن قيمة $C=0.4$ شرح السؤال تذكر الشرط الأساسي الذي يجب أن يحققه أي توزيع احتمالي متقطع. ما هو مجموع كل الاحتمالات ($\sum f(x)$)؟ استخدم هذا الشرط لحساب القيمة الصحيحة لـ $C$ وقارنها بالقيمة المعطاة في السؤال. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).لكي يكون الجدول توزيعاً احتمالياً صحيحاً، يجب أن يكون مجموع كل الاحتمالات يساوي الواحد الصحيح. $$ \sum f(x) = 1 $$ بالتطبيق على الجدول: $$ 0.2 + 0.3 + 0.4 + C = 1 $$ $$ 0.9 + C = 1 $$ $$ C = 1 - 0.9 = 0.1 $$ القيمة الصحيحة لـ $C$ هي $0.1$، بينما السؤال يدعي أنها $0.4$. لذا، العبارة خاطئة. للتوسع: بعد إيجاد القيمة الصحيحة لـ $C$, قم بحساب المتوسط الحسابي ($E(X)$) لهذا التوزيع.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-2: التوزيعات الاحتمالية، التوزيع الاحتمالي المتقطع (المنفصل)، صفحة 62)
2- المساحة الكلية المحصورة بين منحني دالة كثافة الاحتمال ومحور السينات تساوي صفراً. شرح السؤال ما هو الشرط الأساسي الذي يجب أن تحققه أي دالة كثافة احتمالية؟ كم يجب أن تكون المساحة الكلية تحت المنحنى؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).العبارة الصحيحة هي أن المساحة الكلية المحصورة بين منحنى دالة كثافة الاحتمال ومحور السينات تساوي **الواحد الصحيح ($1$)**.هذا الشرط يضمن أن احتمال وقوع أي نتيجة ممكنة ضمن فراغ العينة بأكمله (الحدث المؤكد) هو $100\%$. القيمة صفر تمثل احتمال الحدث المستحيل.مفهوم:لماذا يجب أن تكون المساحة الكلية تساوي $1$؟ فكر في علاقة ذلك بمسلمات الاحتمال الأساسية.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-2: التوزيعات الاحتمالية، التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 66)
3- إذا كان المتغير العشوائي $X$ يتبع التوزيع الطبيعي بوسط حسابي ($400$) وتباين قدره ($100$) فإن $P(X=416)$ يساوي: (علماً بأن $P(0 \le Z \le 1.6) = 0.4452$) شرح السؤال التوزيع الطبيعي هو توزيع مستمر. ما هو احتمال أن يأخذ أي متغير عشوائي مستمر قيمة واحدة محددة بالضبط؟ هل تحتاج للمعلومات الإضافية في السؤال؟ $0.4452$ $0.9452$ صفراً واحد الإجابة الصحيحة هي (صفراً).المتغير العشوائي $X$ يتبع التوزيع الطبيعي، وهو توزيع **مستمر**.من الخصائص الأساسية لأي متغير عشوائي مستمر أن احتمال أخذه لقيمة واحدة محددة يساوي دائماً صفراً. هذا لأن الاحتمال يمثل مساحة تحت المنحنى، ومساحة خط عند نقطة واحدة هي صفر. $$ P(X = 416) = 0 $$ جميع المعلومات الأخرى المعطاة في السؤال (المتوسط، التباين، والقيمة الجدولية) هي للتضليل فقط ولا تؤثر على الحل.مفهوم:هذا السؤال يؤكد على الفرق الجوهري بين التوزيعات المتقطعة (حيث يمكن أن يكون لـ $P(X=c)$ قيمة موجبة) والتوزيعات المستمرة (حيث $P(X=c)$ دائماً صفر).(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-2: التوزيعات الاحتمالية، التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 66)
4- القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي المتقطع $X$ هي عبارة عن تسمية أخرى لـ: شرح السؤال هذا سؤال تعريفي مباشر. ما هو المصطلح الآخر الذي نستخدمه لوصف متوسط التوزيع الاحتمالي؟ الوسط الحسابي التباين الانحراف المعياري المدى الإجابة الصحيحة هي (الوسط الحسابي).القيمة المتوقعة ($E(X)$) هي ببساطة مصطلح آخر مرادف للوسط الحسابي ($\mu$) للتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي. كلاهما يقيس القيمة المركزية أو المتوسطة للتوزيع.الصيغة الرياضية لكليهما هي: $$ E(X) = \mu = \sum x \cdot f(x) $$للتفكير:لماذا نستخدم مصطلح "القيمة المتوقعة"؟ فكر في سياق الألعاب أو الاستثمارات، كيف يساعد هذا المصطلح في فهم "متوسط" الربح أو الخسارة على المدى الطويل.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 3-2: وصف التوزيعات الاحتمالية، القيمة المتوقعة، صفحة 79)
