1- التباين: هو الوسط الحسابي لقيم المتغير العشوائي $X$ مرجحة باحتمالاتها. شرح السؤال اقرأ التعريف جيداً. هذا التعريف يصف مقياساً من مقاييس النزعة المركزية. هل التباين مقياس للنزعة المركزية أم للتشتت؟ ما هو المقياس الذي يصفه هذا التعريف؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).التعريف المذكور "الوسط الحسابي لقيم المتغير العشوائي $X$ مرجحة باحتمالاتها" هو تعريفالمتوسط الحسابي ($\mu$)أوالقيمة المتوقعة ($E(X)$)للمتغير العشوائي.أماالتباين ($\sigma^2$)، فهو مقياس للتشتت ويُعرّف بأنه "متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي".مفهوم:الوسط الحسابي يخبرنا عن "مركز" التوزيع، بينما التباين يخبرنا عن مدى "انتشار" أو "تشتت" القيم حول هذا المركز.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 1-3-2: الوسط الحسابي، صفحة 75)
2- المساحة المحصورة بين منحنى أية دالة كثافة احتمال والمحور الأفقي $= 0.5$. شرح السؤال ما هو الشرط الأساسي الذي يجب أن تحققه أي دالة كثافة احتمالية؟ كم يجب أن تكون المساحة الكلية تحت المنحنى؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).العبارة الصحيحة هي أن المساحة الكلية المحصورة بين منحنى دالة كثافة الاحتمال والمحور الأفقي تساويالواحد الصحيح ($1$).هذا الشرط يضمن أن احتمال وقوع أي نتيجة ممكنة ضمن فراغ العينة بأكمله (الحدث المؤكد) هو $100\%$.القيمة $0.5$ تمثل مساحة نصف المنحنى في التوزيعات المتماثلة (مثل التوزيع الطبيعي)، ولكنها ليست المساحة الكلية.سؤال:هل كل دوال كثافة الاحتمال متماثلة؟ هل هناك توزيعات تكون فيها المساحة على يمين نقطة معينة لا تساوي المساحة على يسارها؟(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 67)
3- احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر قيمة معينة (a) يساوي صفراً. شرح السؤال في التوزيعات المستمرة، الاحتمال يمثل مساحة تحت المنحنى. ما هي مساحة خط مستقيم عند نقطة واحدة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذه خاصية أساسية للمتغيرات العشوائية المستمرة. بما أن الاحتمال في التوزيع المستمر يُعرّف بأنه المساحة تحت منحنى دالة الكثافة فوق فترة معينة، فإن المساحة عند نقطة واحدة محددة (التي يمكن اعتبارها فترة عرضها صفر) تكون دائماً صفراً.لهذا السبب، في المتغيرات المستمرة: $$ P(X=a) = 0 $$ وهذا يؤدي إلى نتيجة هامة: $$ P(c \le X \le d) = P(c < X \le d) = P(c \le X < d) = P(c < X < d) $$ لأن إضافة نقطتي النهاية (اللتين احتمالهما صفر) لا يغير من المساحة الكلية.للمقارنة:هل هذه الخاصية تنطبق على المتغيرات العشوائية المتقطعة؟ وضح إجابتك بمثال.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 68)
4- من جدول $Z$ إذا علمت أن: $P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$ فإن $P(Z=1)$ يساوي: شرح السؤال المتغير $Z$ يتبع توزيعاً طبيعياً، وهو توزيع مستمر. ما هو احتمال أن يأخذ أي متغير عشوائي مستمر قيمة واحدة محددة بالضبط؟ $0.8413$ $0.3413$ $0.1587$ صفراً الإجابة الصحيحة هي (صفراً).المتغير العشوائي $Z$ يتبع التوزيع الطبيعي المعياري، وهو توزيعمستمر.كما ذكرنا في السؤال 9، من الخصائص الأساسية لأي متغير عشوائي مستمر أن احتمال أخذه لقيمة واحدة محددة يساوي دائماً صفراً. هذا لأن الاحتمال يمثل مساحة تحت المنحنى، ومساحة خط عند نقطة واحدة هي صفر. $$ P(Z = 1) = 0 $$ المعلومات المعطاة في السؤال ($P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$) هي للتضليل فقط.مفهوم:هذا السؤال يؤكد على الفرق الجوهري بين التوزيعات المتقطعة (حيث يمكن أن يكون لـ $P(X=c)$ قيمة موجبة) والتوزيعات المستمرة (حيث $P(X=c)$ دائماً صفر).(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، 2-2-2: التوزيع الاحتمالي المستمر (المتصل)، صفحة 68)
