1- إذا كان متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي ($2.25$) فإن الانحراف المعياري لهذه القيم يساوي $1.5$. شرح السؤال العبارة "متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي" هي تعريف لمقياس إحصائي معين. ما هو هذا المقياس؟ وما علاقته بالانحراف المعياري؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).التعريف المذكور في السؤال هو التعريف الحرفي **للتباين ($\sigma^2$)**.إذن، معطيات السؤال هي: $\sigma^2 = 2.25$.المطلوب هو حساب **الانحراف المعياري ($\sigma$)**، وهو الجذر التربيعي الموجب للتباين. $$ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{2.25} = 1.5 $$ النتيجة المحسوبة تتطابق مع القيمة المذكورة في السؤال.للتفكير:لماذا نأخذ الجذر التربيعي الموجب فقط؟ هل يمكن أن يكون الانحراف المعياري سالباً؟(الفصل الثاني - المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-3: وصف التوزيعات الاحتمالية، الفقرة 4-3-2: الانحراف المعياري)
2- إذا كان ($X$) متغيراً عشوائياً منفصلاً (متقطع) فإن $\sum f(x) = 0$. شرح السؤال ما هو الشرط الأساسي الذي يجب أن يحققه مجموع كل الاحتمالات في أي توزيع احتمالي متقطع؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ).من الشروط الأساسية لأي دالة كتلة احتمال لمتغير عشوائي متقطع هو أن مجموع كل الاحتمالات الممكنة يجب أن يساوي **الواحد الصحيح ($1$)**. $$ \sum f(x) = 1 $$ هذا يضمن أن احتمال وقوع أي نتيجة من نتائج فراغ العينة هو $100\%$.(الفصل الثاني - المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-2: التوزيعات الاحتمالية، الفقرة 1-2-2: التوزيع الاحتمالي المتقطع)
3- القيم التي يأخذها المتغير العشوائي المتصل تكون غير قابلة للعد. شرح السؤال فكر في تعريف المتغير العشوائي المستمر (المتصل). هل يمكننا عد جميع القيم الممكنة في فترة معينة (مثلاً، كل الأرقام بين 1 و 2)؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).هذه هي الخاصية الأساسية التي تميز المتغير العشوائي المستمر. بما أنه يمكن أن يأخذ أي قيمة ضمن فترة معينة، فإن عدد القيم الممكنة يكون لا نهائياً وغير قابل للعد.على سبيل المثال، بين الطول $170$ سم و $171$ سم، يوجد عدد لا نهائي من الأطوال الممكنة ($170.1, 170.11, 170.111, ...$).(الفصل الثاني - المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-1: المتغير العشوائي، الفقرة 2-1-2: المتغيرات العشوائية المستمرة)
4- إذا كان المتغير العشوائي $X$ له التوزيع الاحتمالي: $X$ $1$ $2$ $3$ $4$ $f(x)$ $0.4$ $0.2$ $0.1$ $0.3$ فإن المتوسط الحسابي يساوي: شرح السؤال المتوسط الحسابي (أو القيمة المتوقعة) لتوزيع احتمالي متقطع يُحسب باستخدام صيغة محددة. اضرب كل قيمة للمتغير $X$ في احتمالها المقابل $f(x)$، ثم اجمع كل النواتج. $1.3$ $1.2$ $2.3$ $3.2$ الإجابة الصحيحة هي ($2.3$).المتوسط الحسابي ($\mu$) للمتغير العشوائي المتقطع يُحسب بتطبيق الصيغة: $$ \mu = E(X) = \sum x \cdot f(x) $$ بتطبيق هذا على الجدول المعطى:$ \mu = (1 \times 0.4) + (2 \times 0.2) + (3 \times 0.1) + (4 \times 0.3) $$ \mu = 0.4 + 0.4 + 0.3 + 1.2 = 2.3 $ تدريب: هل هذا توزيع احتمالي صحيح؟ تحقق من أن مجموع الاحتمالات يساوي $1$.(الفصل الثاني - المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 2-3: وصف التوزيعات الاحتمالية، الفقرة 1-3-2: الوسط الحسابي)
