1- يوجد نوعان من التقدير الإحصائي للمعالم المجهولة هي التقدير بقيمة والتقدير بفترة. شرح السؤال عندما نريد تقدير معلمة مجهولة للمجتمع (مثل متوسط الدخل $\mu$)، ما هي الطرق التي يمكننا استخدامها للتعبير عن تقديرنا؟ فكر في الفرق بين إعطاء رقم واحد كأفضل تخمين، وإعطاء نطاق من الأرقام. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).الإحصاء الاستدلالي ينقسم إلى فرعين رئيسيين: اختبارات الفروض والتقدير الإحصائي. والتقدير الإحصائي بدوره ينقسم إلى نوعين أساسيين:التقدير بنقطة (أو بقيمة):وهو استخدام قيمة واحدة محسوبة من العينة (إحصاءة) كأفضل تخمين لقيمة المعلمة المجهولة في المجتمع. مثلاً، استخدام الوسط الحسابي للعينة ($\bar{x}$) كتقدير للوسط الحسابي للمجتمع ($\mu$).التقدير بفترة (فترة الثقة):وهو تحديد فترة أو نطاق من القيم، مع درجة ثقة معينة، نتوقع أن تقع معلمة المجتمع المجهولة ضمنه. مثلاً، القول بأننا نثق بنسبة $95\%$ أن متوسط الدخل في المجتمع ($\mu$) يقع بين $1200$ و $1500$ دينار.التقدير بفترة يعتبر أكثر فائدة من التقدير بنقطة لأنه يعطينا فكرة عن دقة التقدير ومقدار الخطأ المحتمل.(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 5-2: أنواع التقدير، صفحة 130)
2- إذا علمت أن $n=36, \sigma^2=4, \bar{x}=13.5, 1-\alpha=0.90$. فإن الحد الأدنى لفترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع يساوي: (علماً بأن $Z_{0.1}=1.28, Z_{0.05}=1.64$) شرح السؤال أولاً، اكتب صيغة فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع. ما هي القيمة الجدولية $Z$ التي تحتاجها لمستوى ثقة $90\%$؟ انتبه لكيفية إيجادها من مستوى الدلالة $\alpha$. ثم احسب حد الخطأ وعوض في صيغة الحد الأدنى. $11.04$ $13.5$ $14.04$ $12.95$ الإجابة الصحيحة هي ($12.95$).صيغة فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع $\mu$ هي: $$ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$ الحد الأدنى هو: $\bar{x} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.المعطيات:$\bar{x}=13.5, \sigma^2=4 \Rightarrow \sigma=\sqrt{4}=2, n=36$.إيجاد القيمة الجدولية $Z_{\alpha/2}$:مستوى الثقة $1-\alpha = 0.90$.مستوى الدلالة $\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$.$\alpha/2 = 0.05$.المطلوب هو $Z_{0.05}$, وهي القيمة التي على يمينها مساحة قدرها $0.05$. من المعطيات، $Z_{0.05}=1.64$.حساب الحد الأدنى:$$ \text{Lower Limit} = 13.5 - 1.64 \times \frac{2}{\sqrt{36}} $$ $$ = 13.5 - 1.64 \times \frac{2}{6} = 13.5 - 1.64 \times \frac{1}{3} $$ $$ = 13.5 - 0.5467 \approx 12.9533 $$ أقرب إجابة هي $12.95$. (ملاحظة: استخدام $Z_{0.05}=1.645$ يعطي $12.9517$).(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 3-3-5: فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع، صفحة 133)
3- إذا كان مجتمع إحصائي وسيطه الحسابي $\mu$ مجهولاً وسحبنا العينة العشوائية التالية: $8, 14, 18, 16, 7, 15$، فإن القيمة المقدرة لمتوسطه الحسابي = شرح السؤال عندما تكون معلمة المجتمع (مثل الوسط الحسابي $\mu$) مجهولة، ما هي أفضل إحصاءة من العينة يمكن استخدامها لتقديرها؟ احسب هذه الإحصاءة للبيانات المعطاة. $13$ $14$ $12$ $11$ الإجابة الصحيحة هي ($13$).أفضل تقدير نقطي (بقيمة واحدة) للوسط الحسابي للمجتمع ($\mu$) هو الوسط الحسابي للعينة ($\bar{x}$).نحسب الوسط الحسابي للعينة المعطاة: $$ \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} $$مجموع القيم: $\sum x_i = 8 + 14 + 18 + 16 + 7 + 15 = 78$عدد القيم (حجم العينة): $n=6$$$ \bar{x} = \frac{78}{6} = 13 $$(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 1-2-5: التقدير بنقطة، صفحة 130)
4- في عملية تقدير لمتوسط المجتمع بفترة إذا كان مقدار الحد الأعلى لفترة الثقة هو $67$ علماً بأن $\bar{X}=64$ فإن الحد الأدنى لفترة الثقة يساوي: شرح السؤال فترة الثقة تكون متماثلة حول الوسط الحسابي للعينة ($\bar{X}$). هذا يعني أن المسافة من $\bar{X}$ إلى الحد الأعلى هي نفس المسافة من $\bar{X}$ إلى الحد الأدنى. استخدم هذه المعلومة لإيجاد الحد الأدنى. $67$ $64$ $61$ $63$ الإجابة الصحيحة هي ($61$).فترة الثقة للوسط الحسابي تكون دائماً متماثلة حول الوسط الحسابي للعينة ($\bar{X}$). هذا يعني أن $\bar{X}$ يقع تماماً في منتصف المسافة بين الحد الأدنى والحد الأعلى.مقدار الخطأ في التقدير (نصف عرض الفترة)، والذي نرمز له بالرمز $E$, هو الفرق بين الحد الأعلى ووسط العينة.حيث: (E = الخطأ)، (Upper Limit = الحد الأعلى). $$ E = \text{Upper Limit} - \bar{X} $$ $$ E = 67 - 64 = 3 $$ الحد الأدنى يتم حسابه بطرح نفس مقدار الخطأ من الوسط الحسابي للعينة.حيث: (Lower Limit = الحد الأدنى). $$ \text{Lower Limit} = \bar{X} - E $$ $$ \text{Lower Limit} = 64 - 3 = 61 $$ إذن، فترة الثقة هي $(61, 67)$.(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 3-5: التقدير بفترة (فترة الثقة)، صفحة 132)
