1- أفضل مقدر بقيمة للوسط الحسابي للمجتمع هو الوسط الحسابي للعينة. شرح السؤال عندما نريد تقدير معلمة المجتمع المجهولة (مثل $\mu$) باستخدام قيمة واحدة من العينة، ما هي أفضل إحصاءة نستخدمها؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح).عندما نستخدم التقدير بنقطة (أو بقيمة)، فإن أفضل مقدر غير متحيز وفعال للوسط الحسابي للمجتمع ($\mu$) هو الوسط الحسابي للعينة ($\bar{x}$).لهذا السبب، عند سحب عينة، أول خطوة نقوم بها لتقدير متوسط المجتمع هي حساب متوسط هذه العينة.(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 1-2-5: التقدير بنقطة، صفحة 130)
2- إذا علمت أن: $n=36, \sigma^2=4, \bar{X}=13.5, 1-\alpha=0.90, Z_{\alpha/2}=1.64$. فإن حدي الثقة يساوي: شرح السؤال اكتب صيغة فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع: $\bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. احسب أولاً مقدار الخطأ ($Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)، ثم قم بطرحه من $\bar{x}$ للحصول على الحد الأدنى، وإضافته إلى $\bar{x}$ للحصول على الحد الأعلى. ($11.95, 15.05$) ($12.95, 14.05$) ($10.95, 13.05$) ($13.95, 16.05$) الإجابة الصحيحة هي ($12.95, 14.05$).صيغة فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع $\mu$ هي: $$ \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$المعطيات:$\bar{x}=13.5$, $\sigma^2=4 \Rightarrow \sigma=2$, $n=36$, $Z_{\alpha/2}=1.64$.حساب مقدار الخطأ في التقدير (E):$$ E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.64 \times \frac{2}{\sqrt{36}} = 1.64 \times \frac{2}{6} \approx 0.547 $$ (ملاحظة: السؤال في الدور الأول استخدم $Z_{0.05}=1.64$, وهنا استخدم $Z_{\alpha/2}$ بشكل عام. إذا افترضنا أن $Z_{\alpha/2}=1.645$ وهو الأدق لمستوى ثقة $90\%$، فإن $E = 1.645 \times \frac{2}{6} \approx 0.548$. بالنظر للخيارات، فإن قيمة $0.55$ هي الأنسب). دعنا نستخدم $0.55$ للسهولة بناء على الخيارات.حساب حدي الثقة:الحد الأدنى:$\bar{x} - E = 13.5 - 0.55 = 12.95$.الحد الأعلى:$\bar{x} + E = 13.5 + 0.55 = 14.05$.فترة الثقة هي ($12.95, 14.05$).(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 3-3-5: فترة الثقة للوسط الحسابي للمجتمع، صفحة 133)
3- في عملية تقدير لمتوسط المجتمع بفترة إذا كان مقدار الحد الأعلى لفترة الثقة $9.75$ علماً بأن $\bar{x}=7.5$ فإن الحد الأدنى لهذه الفترة يساوي: شرح السؤال فترة الثقة تكون متماثلة حول الوسط الحسابي للعينة ($\bar{x}$). هذا يعني أن المسافة من $\bar{x}$ إلى الحد الأعلى هي نفس المسافة من $\bar{x}$ إلى الحد الأدنى. استخدم هذه المعلومة لإيجاد الحد الأدنى. $9.25$ $5.25$ $7.5$ $5.75$ الإجابة الصحيحة هي ($5.25$).فترة الثقة للوسط الحسابي تكون دائماً متماثلة حول الوسط الحسابي للعينة ($\bar{x}$). هذا يعني أن $\bar{x}$ يقع تماماً في منتصف المسافة بين الحد الأدنى والحد الأعلى.مقدار الخطأ في التقدير (نصف عرض الفترة)، والذي نرمز له بالرمز $E$, هو الفرق بين الحد الأعلى ووسط العينة.حيث: (E = الخطأ)، (Upper Limit = الحد الأعلى). $$ E = \text{Upper Limit} - \bar{x} $$ $$ E = 9.75 - 7.5 = 2.25 $$ الحد الأدنى يتم حسابه بطرح نفس مقدار الخطأ من الوسط الحسابي للعينة.حيث: (Lower Limit = الحد الأدنى). $$ \text{Lower Limit} = \bar{x} - E $$ $$ \text{Lower Limit} = 7.5 - 2.25 = 5.25 $$ إذن، فترة الثقة هي $(5.25, 9.75)$.(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 3-5: التقدير بفترة (فترة الثقة)، صفحة 132)
4- الاحتمال $(1 - \alpha)$ يسمى: شرح السؤال في موضوع التقدير بفترة واختبارات الفروض، هناك رمزان أساسيان: $\alpha$ و $1-\alpha$. ماذا يمثل كل منهما؟ مستوى الثقة مستوى المعنوية معامل الثقة فترة الثقة الإجابة الصحيحة هي (مستوى الثقة).في الإحصاء الاستدلالي:$\alpha$ (ألفا):تسمى **مستوى المعنوية** أو مستوى الدلالة. وهي تمثل احتمال ارتكاب خطأ من النوع الأول (رفض فرض صحيح)، أو تمثل المساحة خارج فترة الثقة.$1 - \alpha$:تسمى **مستوى الثقة** أو درجة الثقة. وهي تمثل احتمال أن تحتوي فترة الثقة المحسوبة على المعلمة الحقيقية للمجتمع.للمناقشة:ما هي العلاقة بين مستوى الثقة وعرض فترة الثقة؟ إذا أردنا أن نكون أكثر ثقة (مثلاً $99\%$ بدلاً من $95\%$)، هل ستكون فترة الثقة أوسع أم أضيق، ولماذا؟ ما هي المفاضلة التي نقوم بها؟(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 3-5: التقدير بفترة (فترة الثقة)، صفحة 132)
