1- مجتمع إحصائي وسطه الحسابي $20$ اختيرت منه عينة عشوائية حجمها $25$ وعلمت أن تباينها يساوي $36$. فإن احتمال أن يقل الوسط الحسابي عن $21.5$ هو: (علماً بأن $P(t_{24} < 1.25) = 0.10$) شرح السؤال بما أن تباين المجتمع مجهول والعينة صغيرة ($n<30$)، فإننا نستخدم توزيع $t$. احسب قيمة $t$ المقابلة لـ $\bar{X}=21.5$. ثم قارن النتيجة بالقيمة المعطاة في السؤال (مع الانتباه لوجود خطأ مطبعي في القيمة الجدولية المعطاة). $0.90$ $0.10$ $0.95$ $0.25$ الإجابة الصحيحة هي ($0.90$).نستخدم توزيع $t$ لأن تباين المجتمع $\sigma^2$ مجهول (المعطى هو تباين العينة $s^2=36$) وحجم العينة صغير ($n=25 < 30$).المعطيات:$\mu=20, s^2=36 \implies s=6, n=25$.المطلوب:$P(\bar{X} < 21.5)$.حساب قيمة $t$ المحسوبة (بدرجات حرية $df=24$):$$ t = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} = \frac{21.5 - 20}{6/\sqrt{25}} = \frac{1.5}{6/5} = \frac{1.5}{1.2} = 1.25 $$إيجاد الاحتمال:المطلوب هو $P(t_{24} < 1.25)$.ملاحظة هامة:المعلومة المعطاة في السؤال $P(t_{24} < 1.25) = 0.10$ هي خاطئة منطقياً، لأن المساحة على يسار قيمة موجبة يجب أن تكون أكبر من $0.5$. المقصود غالباً هو أن المساحة على **يمين** القيمة تساوي $0.10$, أي $P(t_{24} > 1.25) = 0.10$.بناءً على هذا التصحيح، يمكننا حساب المطلوب: $$ P(t_{24} < 1.25) = 1 - P(t_{24} > 1.25) = 1 - 0.10 = 0.90 $$للتفكير الناقد:لماذا من المستحيل أن يكون $P(t < 1.25) = 0.10$? ارسم منحنى توزيع $t$ لتوضيح السبب.(الفصل الخامس: التقدير الإحصائي، 4-3-5: فترة الثقة للوسط الحسابي في حالة $\sigma$ مجهولة، صفحة 138)
