الإجابة الصحيحة: خطأ.

لتبسيط الكسر المعطى:

يمكننا إعادة ترتيب حدود البسط لتصبح (أ - ب).

إذن، الكسر يصبح:

نلاحظ أن البسط (أ - ب) هو معكوس المقام (ب - أ) في الإشارة. يمكننا كتابة (ب - أ) كـ -(أ - ب).

إذن، الكسر يصبح:

بما أن أ ≠ ب، فإن (أ - ب) ≠ 0، وبالتالي يمكننا اختصار (أ - ب) من البسط والمقام.

يتبقى لدينا:

وهذا يساوي -1.

السؤال يقول أن أبسط صورة للكسر هي 1. بما أننا وجدنا أن أبسط صورة هي -1، فإن العبارة المعطاة في السؤال خاطئة.

لذلك، الخيار "صح" خاطئ.

للتفكير:متى يكون الكسر الجبري مساويًا لـ 1؟ ومتى يكون مساويًا لـ -1؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-2 تبسيط الكسور الجبرية البسيطة، يمكن الاسترشاد بالأمثلة في صفحة 37، المثال 2 (جـ) يشبه هذه الحالة)

الإجابة الصحيحة: صح.

لنتحقق من اختصار الكسر المعطى:

1. تحليل البسط:

البسط هو 5س + 15ص. العامل المشترك الأكبر بين الحدين هو 5.

5س + 15ص = 5(س + 3ص)

2. تحليل المقام:

المقام هو س²+ 6س ص + 9ص².

نلاحظ أن هذا المقدار هو مقدار ثلاثي مربع كامل، حيث:

• الحد الأول (س²) هو مربع (س).
• الحد الثالث (9ص²) هو مربع (3ص).
• الحد الأوسط (6س ص) هو ضعف حاصل ضرب جذر الحد الأول وجذر الحد الثالث: 2 × س × 3ص = 6س ص.

إذن، تحليل المقام هو: (س + 3ص)²، والذي يمكن كتابته كـ (س + 3ص)(س + 3ص).

3. كتابة الكسر بعد التحليل:

4. اختصار العوامل المشتركة:

نلاحظ أن العامل (س + 3ص) مشترك بين البسط والمقام. نقوم باختصاره (بشرط أن س + 3ص ≠ 0).

يتبقى لدينا:

هذا الناتج يتطابق تمامًا مع الكسر المعطى في الطرف الأيسر من السؤال.

إذن، العبارة المعطاة في السؤال صحيحة.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير:ماذا لو كان المقام س²- 6س ص + 9ص²؟ كيف سيتغير التحليل والاختصار؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 3-2 تبسيط الكسور الجبرية التي تتضمن عمليات تحليل إضافية، صفحة 38. هذا السؤال يتطلب تحليل البسط بإخراج العامل المشترك وتحليل المقام كمربع كامل.)

الإجابة الصحيحة: 4

لإيجاد قيمة "م"، سنقوم بتحليل الكسر الأصلي ونقارنه بالصورة المبسطة المعطاة.

الكسر الأصلي هو:

1. تحليل البسط: س² – 6س + 8

نبحث عن عددين حاصل ضربهما 8 ومجموعهما -6. العددان هما -2 و -4.

إذن، س² – 6س + 8 = (س – 2)(س – 4).

2. كتابة الكسر الأصلي بعد تحليل البسط:

معطى أن أبسط صورة لهذا الكسر هي:

لكي نحصل على هذه الصورة المبسطة، يجب أن يتم اختصار العامل (س – 2) من البسط مع عامل مكافئ له في المقام، ويجب أن يكون العامل المتبقي في المقام هو (س + 2).

هذا يعني أن المقام الأصلي، س² – م، يجب أن يكون حاصل ضرب العامل الذي تم اختصاره (س – 2) والعامل المتبقي في مقام الصورة المبسطة (س + 2).

إذن: س² – م = (س – 2)(س + 2)

الطرف الأيمن (س – 2)(س + 2) هو فرق بين مربعين، ويساوي س² – 2² = س² – 4.

الآن نقارن: س² – م = س² – 4

بمقارنة الطرفين، نجد أن: –م = –4

وبالتالي، م = 4.

للتفكير: إذا كانت أبسط صورة للكسر (س² + 3س + 2) / (س² – م) هي (س + 1) / (س – 3)، فما قيمة "م"؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 2-2 تبسيط الكسور الجبرية البسيطة. يتطلب هذا السؤال تحليل البسط أولاً، ثم استخدام الصورة المبسطة المعطاة لاستنتاج تحليل المقام وقيمة المجهول "م".)

الإجابة الصحيحة: ص =

المعادلة المعطاة هي:

المطلوب هو جعل "ص" المتغير التابع، أي عزل "ص" في طرف بمفردها.

الخطوة 1: نطرح 2 من طرفي المعادلة لعزل الحد الذي يحتوي على "ص".

الخطوة 2: لإيجاد "ص"، نأخذ مقلوب الطرفين. مقلوب (1/ص) هو "ص"، ومقلوب (س – 2) هو 1/(س – 2).

إذن،

هذا يتطابق مع الخيار (د).

لماذا الخيارات الأخرى خاطئة:

• أ) ص = س – 2: هذا هو ناتج الخطوة الأولى فقط (قيمة 1/ص)، وليس قيمة "ص".
• ب) ص = س + 2: هذا ينتج عن خطأ في نقل العدد 2 إلى الطرف الآخر أو خطأ في فهم المطلوب.
• ج)
  1 س + 2
  : هذا ينتج عن خطأ في إشارة العدد 2 عند نقله للطرف الآخر قبل أخذ المقلوب.

للتفكير: إذا كانت المعادلة الأصلية هي ص/2 + 2 = س، فما هي قيمة "ص" كمتغير تابع؟

(الوحدة الثانية: الكسور والصيغ الجبرية، الدرس 8-2 المعالجة بالصيغ الرياضية، صفحة 52-53. هذا السؤال يتطلب مهارة تغيير موضوع الصيغة.)