الإجابة الصحيحة: صح.

المعطيات في السؤال هي:

• مساحة السطح المنحني للمخروط = 175 π سم²
• طول نصف قطر قاعدته (نق) = 7 سم

المطلوب التحقق مما إذا كان طول راسمه (ل) = 25 سم.

نستخدم صيغة مساحة السطح المنحني للمخروط:

مساحة السطح المنحني = π × نق × ل

نعوض بالقيم المعطاة في الصيغة:

175 π = π × 7 × ل

لإيجاد قيمة "ل"، يمكننا قسمة الطرفين على π وعلى 7:

أولاً، نقسم الطرفين على π (بما أن π ≠ 0):

175 = 7 × ل

ثانياً، نقسم الطرفين على 7:

ل = 175 / 7

ل = 25 سم.

النتيجة التي حصلنا عليها لطول الراسم (ل = 25 سم) تتطابق مع القيمة المعطاة في السؤال.

إذن، العبارة "فإن طول راسمه = 25 سم" هي عبارة صحيحة.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير:إذا كان طول الراسم 10 سم ونصف قطر القاعدة 5 سم، فما هي مساحة السطح المنحني للمخروط؟

(الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 4-5 المخروط، الفقرة 1-4-5 مساحة السطح المنحني للمخروط، صفحة 114. المثال 14 في صفحة 115 يوضح كيفية حساب المساحة الكلية ولكن يمكن تطبيق نفس مبدأ صيغة السطح المنحني.)

الإجابة الصحيحة: صح.

العلاقة الأساسية التي تربط طول القوس بالزاوية المركزية هي:

حيث 𝜃 هي قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس بالدرجات.

معطى في السؤال أن النسبة "طول القوس : محيط الدائرة = 1 : 3". هذا يعني أن:

الآن نساوي بين النسبتين:

لإيجاد قيمة 𝜃، نضرب الطرفين في ^o360:

𝜃 = (1/3) × ^o360

𝜃 = ^o360 / 3

𝜃 = ^o120

النتيجة التي حصلنا عليها لقياس الزاوية المركزية (𝜃 = ^o120) تتطابق مع القيمة المعطاة في السؤال.

إذن، العبارة "فإن قياس الزاوية المركزية 𝜃 = ^o120" هي عبارة صحيحة.

لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح.

للتفكير: إذا كان قياس الزاوية المركزية 90 درجة، فما هي النسبة بين طول القوس المقابل لها ومحيط الدائرة؟

(الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 1-5 طول القوس، صفحة 99-100. العلاقة الأساسية مشروحة ومستخدمة في الأمثلة.)

الإجابة الصحيحة: خطأ.

لإيجاد مساحة الجزء المظلل في الشكل المعطى، نتبع الخطوات التالية:

1. حساب مساحة ربع الدائرة:

• نصف قطر الدائرة (نق) من الشكل = 7 سم.
• الزاوية المركزية لربع الدائرة هي 90 درجة.
• مساحة ربع الدائرة = (1/4) × π × نق²
• باستخدام π ≈ 22/7:
• مساحة ربع الدائرة = (1/4) × (22/7) × (7 سم) × (7 سم)
• مساحة ربع الدائرة = (1/4) × 22 × 7 سم²
• مساحة ربع الدائرة = (1/4) × 154 سم²= 38.5 سم²

2. حساب مساحة المثلث القائم الزاوية:

• قاعدة المثلث = 7 سم (نصف القطر).
• ارتفاع المثلث = 7 سم (نصف القطر الآخر).
• مساحة المثلث = (1/2) × القاعدة × الارتفاع
• مساحة المثلث = (1/2) × 7 سم × 7 سم
• مساحة المثلث = (1/2) × 49 سم²= 24.5 سم²

3. حساب مساحة الجزء المظلل:

• مساحة الجزء المظلل = مساحة ربع الدائرة – مساحة المثلث
• مساحة الجزء المظلل = 38.5 سم²– 24.5 سم²
• مساحة الجزء المظلل = 14 سم²

السؤال يقول أن "مساحة الجزء المظلل = 28 سم²".

بمقارنة ناتجنا (14 سم²) بالعبارة المعطاة في السؤال (28 سم²)، نجد أنهما غير متطابقين.

إذن، العبارة المعطاة في السؤال خاطئة.

للتفكير:ما هي مساحة الجزء غير المظلل داخل ربع الدائرة؟

(الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 2-5 مساحة القطاع الدائري، صفحة 103 وما بعدها. هذا النوع من المسائل يتطلب حساب مساحة القطاع الدائري (هنا ربع دائرة) ومساحة المثلث ثم إيجاد الفرق بينهما. المثال 9 في صفحة 107 يعالج شكلاً مشابهاً.)