1- إذا كانت مساحة السطح المنحني لمخروط 175 π سم2وطول نصف قطر قاعدته 7 سم فإن طول راسمه = 25 سم شرح السؤال تذكر صيغة حساب مساحة السطح المنحني للمخروط:مساحة السطح المنحني = π × نق × ل حيث: نقهو نصف قطر قاعدة المخروط. لهو طول راسم المخروط. لديك قيمة مساحة السطح المنحني (175 π سم2) وقيمة نصف القطر (7 سم). عوض بهذه القيم في الصيغة وحاول إيجاد قيمة "ل" (طول الراسم). هل ستكون 25 سم؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح. المعطيات في السؤال هي: مساحة السطح المنحني للمخروط = 175 π سم2 طول نصف قطر قاعدته (نق) = 7 سم المطلوب التحقق مما إذا كان طول راسمه (ل) = 25 سم. نستخدم صيغة مساحة السطح المنحني للمخروط: مساحة السطح المنحني = π × نق × ل نعوض بالقيم المعطاة في الصيغة: 175 π = π × 7 × ل لإيجاد قيمة "ل"، يمكننا قسمة الطرفين على π وعلى 7: أولاً، نقسم الطرفين على π (بما أن π ≠ 0): 175 = 7 × ل ثانياً، نقسم الطرفين على 7: ل = 175 / 7 ل = 25 سم. النتيجة التي حصلنا عليها لطول الراسم (ل = 25 سم) تتطابق مع القيمة المعطاة في السؤال. إذن، العبارة "فإن طول راسمه = 25 سم" هي عبارة صحيحة. لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح. للتفكير:إذا كان طول الراسم 10 سم ونصف قطر القاعدة 5 سم، فما هي مساحة السطح المنحني للمخروط؟ (الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 4-5 المخروط، الفقرة 1-4-5 مساحة السطح المنحني للمخروط، صفحة 114. المثال 14 في صفحة 115 يوضح كيفية حساب المساحة الكلية ولكن يمكن تطبيق نفس مبدأ صيغة السطح المنحني.)
2- إذا كان طول القوس : محيط الدائرة = 1 : 3 فإن قياس الزاوية المركزية 𝜃 = o120 شرح السؤال تذكر العلاقة بين نسبة طول القوس إلى محيط الدائرة ونسبة قياس الزاوية المركزية المقابلة لهذا القوس إلى مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول مركز الدائرة (وهو o360). العلاقة هي: طول القوس محيط الدائرة = 𝜃 (قياس الزاوية المركزية بالدرجات) o360 لديك النسبة بين طول القوس ومحيط الدائرة (1 : 3). استخدم هذه النسبة لإيجاد قيمة 𝜃. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح. العلاقة الأساسية التي تربط طول القوس بالزاوية المركزية هي: طول القوس محيط الدائرة = 𝜃 o360 حيث 𝜃 هي قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس بالدرجات. معطى في السؤال أن النسبة "طول القوس : محيط الدائرة = 1 : 3". هذا يعني أن: طول القوس محيط الدائرة = 1 3 الآن نساوي بين النسبتين: 𝜃 o360 = 1 3 لإيجاد قيمة 𝜃، نضرب الطرفين في o360: 𝜃 = (1/3) × o360 𝜃 = o360 / 3 𝜃 = o120 النتيجة التي حصلنا عليها لقياس الزاوية المركزية (𝜃 = o120) تتطابق مع القيمة المعطاة في السؤال. إذن، العبارة "فإن قياس الزاوية المركزية 𝜃 = o120" هي عبارة صحيحة. لذلك، الخيار "خطأ" غير صحيح. للتفكير: إذا كان قياس الزاوية المركزية 90 درجة، فما هي النسبة بين طول القوس المقابل لها ومحيط الدائرة؟ (الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 1-5 طول القوس، صفحة 99-100. العلاقة الأساسية مشروحة ومستخدمة في الأمثلة.)
3- في الشكل التالي: مساحة الجزء المظلل = 28 سم2 شرح السؤال لحساب مساحة الجزء المظلل، احسب أولاً مساحة ربع الدائرة، ثم احسب مساحة المثلث القائم الزاوية الموجود بداخلها. مساحة الجزء المظلل هي الفرق بين هاتين المساحتين. استخدم π ≈ 22/7. هل سيكون الناتج 28 سم2؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ. لإيجاد مساحة الجزء المظلل في الشكل المعطى، نتبع الخطوات التالية: 1. حساب مساحة ربع الدائرة: نصف قطر الدائرة (نق) من الشكل = 7 سم. الزاوية المركزية لربع الدائرة هي 90 درجة. مساحة ربع الدائرة = (1/4) × π × نق2 باستخدام π ≈ 22/7: مساحة ربع الدائرة = (1/4) × (22/7) × (7 سم) × (7 سم) مساحة ربع الدائرة = (1/4) × 22 × 7 سم2 مساحة ربع الدائرة = (1/4) × 154 سم2= 38.5 سم2 2. حساب مساحة المثلث القائم الزاوية: قاعدة المثلث = 7 سم (نصف القطر). ارتفاع المثلث = 7 سم (نصف القطر الآخر). مساحة المثلث = (1/2) × القاعدة × الارتفاع مساحة المثلث = (1/2) × 7 سم × 7 سم مساحة المثلث = (1/2) × 49 سم2= 24.5 سم2 3. حساب مساحة الجزء المظلل: مساحة الجزء المظلل = مساحة ربع الدائرة – مساحة المثلث مساحة الجزء المظلل = 38.5 سم2– 24.5 سم2 مساحة الجزء المظلل = 14 سم2 السؤال يقول أن "مساحة الجزء المظلل = 28 سم2". بمقارنة ناتجنا (14 سم2) بالعبارة المعطاة في السؤال (28 سم2)، نجد أنهما غير متطابقين. إذن، العبارة المعطاة في السؤال خاطئة. للتفكير:ما هي مساحة الجزء غير المظلل داخل ربع الدائرة؟ (الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 2-5 مساحة القطاع الدائري، صفحة 103 وما بعدها. هذا النوع من المسائل يتطلب حساب مساحة القطاع الدائري (هنا ربع دائرة) ومساحة المثلث ثم إيجاد الفرق بينهما. المثال 9 في صفحة 107 يعالج شكلاً مشابهاً.)
4- مساحة القطاع . . . . . . . . = 𝜃 o360 شرح السؤال العلاقة المعطاة تربط بين نسبة مساحة القطاع إلى "شيء ما" بنسبة زاوية القطاع (𝜃) إلى الزاوية الكاملة للدائرة (360o). فكر، ما هو "الشيء" الذي إذا قسمنا مساحة القطاع عليه، تعطينا هذه النسبة؟ إنه يمثل المساحة الكلية التي يُقتطع منها القطاع. تذكر صيغة مساحة الدائرة الكاملة، مع اعتبار أن "نق" تمثل نصف القطر. π نق2 π نق 2 π نق 4 π نق2 الإجابة الصحيحة: π نق2 العلاقة الأساسية لحساب مساحة القطاع الدائري هي أن نسبة مساحة القطاع إلى مساحة الدائرة الكاملة تساوي نسبة زاوية القطاع المركزية (𝜃) إلى مجموع الزوايا حول مركز الدائرة (o360). تُكتب هذه العلاقة كالتالي: مساحة القطاع مساحة الدائرة = 𝜃 o360 صيغة مساحة الدائرة هي π × (نصف القطر)2. في هذا السؤال، الرمز المستخدم لنصف القطر هو "نق". إذن، مساحة الدائرة = π نق2. بالتالي، الجزء الناقص في المقام في المعادلة المعطاة في السؤال هو مساحة الدائرة، أي π نق2. دعنا نتفحص الخيارات الأخرى: π نق: هذا يمثل π مضروباً في نصف القطر، وهي ليست صيغة مساحة. 2 π نق: هذا يمثل 2 × π × نصف القطر، وهي صيغة محيط الدائرة، وليست مساحتها. 4 π نق2: هذا يمثل أربعة أضعاف مساحة الدائرة. إذن، الخيار الصحيح الذي يكمل المعادلة هو π نق2. للتفكير: إذا كانت 𝜃 = o90 (ربع دائرة)، كيف تصبح صيغة مساحة القطاع باستخدام هذه العلاقة؟ (الوحدة الخامسة: مساحات السطوح، الدرس 2-5 مساحة القطاع الدائري، صفحة 104، النشاط الاستقصائي وجدول التعميم يؤديان إلى هذه العلاقة.)
